浙江大学 2001 年 考研 量子力学

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1. 第一题: (15 分)

　　 (1) 试确定，在 3K 温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长 ${\lambda }_m$ 是多少？

　　 (2) 此时，光子的对应能量是多少？

　　 (3) 光电效应中，如何测定某金属板的逸出功 $A$？

2. 第二题:(20 分)

　　 设氢原子处于状态:$$\psi (r,\theta ,\varphi )=\frac{1}{2}{R}_{21}(r)Y_{10}(\theta ,\varphi )-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{31}(r)Y_{11}(\theta ,\varphi )$$

　　 1. 问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？

　　 2. 问测量氢原子的角动量平方 ${\hat{L}}^2$，所得的可能值及相应的几率为多少？

　　 3. 问测量氢原子的角动量分量 ${\hat{L}}_z$，所得的可能值及相应的几率为多少？

3. 第三题:(20 分)

　　 1. 一质量为 $m$ 的粒子于势场 $V(x)$ 中运动， $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0\\ 0,& 0\le |x|\le a\\ \mathrm{\infty },& x>a\end{array}$$ 求该粒子的能级及对应的本征波函数？

　　 2. 若一质量为 $m$ 的粒子与势场 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}{V}_0>0,& |x|\ge a\\ 0,& |x|<a\end{array}$$ 中运动，求束缚态能级 $E$ 所满足的方程。

　　 3. 若一质量为 $m$ 的粒子于三维势场 $V(r)$ 中运动， $$V(r)=\{\begin{array}{ll}-V_0,& 0\le r\le a\\ 0,& r>a\end{array},V_0>a$$ 则若欲得二个束缚态，其势能值 $V_0$ 至少应为多少？

4. 第四题:(15 分)

1. 何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符 $\hat{A}=-\frac{\partial }{\partial x}$ 是否是厄米？
2. 计算对易子 $[\hat{X},\widehat{P^n}]$ 的值？
3. 证明厄米算符有实的本征值？
4. 试说明为何要力学量对应为厄米算符？ 下面二组选做（五、六题与七、八题）任选一组解答。

5. 第五题:(15 分)

　　 证明对于任何束缚态，粒子动量 $\hat{P}$ 的平均值为零。

6. 第六题:(15 分)

　　 如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为 $r_0$ 表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对 氢原子基态能量的一级修正。(已知 $r_0\ll a,a$ 为玻尔半径)

7. 第七题:(15 分)

　　 一质量为 $m$ 的高能粒子被势场 $$V(r)=\frac{-V_0}{r}\times (\frac{e^{-r}}{a}-1.125\times \frac{e^{-2r}}{a})$$ 散射，$V_0$ 较小，$k$ 为入射波矢。

　　 射矢矢：

　　 (1) 用哪种方法计算某散射截面积较为合理？

　　 (2) 试指出在哪些方向上，散射粒子最少？

8. 第八题 (15 分)

　　 试写出定态微扰论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）