浙江大学 2001 年 考研 量子力学

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1. 第一题: (15 分)

　　 (1) 试确定，在 3K 温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长 $\lambda_m$ 是多少？

　　 (2) 此时，光子的对应能量是多少？

　　 (3) 光电效应中，如何测定某金属板的逸出功 $A$？

2. 第二题:(20 分)

　　 设氢原子处于状态:$$\psi(r, \theta, \phi) = \frac{1}{2} R_{21}(r) Y_{10}(\theta, \phi) - \frac{\sqrt{3}}{2} R_{31}(r) Y_{11}(\theta, \phi)~$$

　　 1. 问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？

　　 2. 问测量氢原子的角动量平方 \( \hat{L}^2 \)，所得的可能值及相应的几率为多少？

　　 3. 问测量氢原子的角动量分量 \( \hat{L}_z \)，所得的可能值及相应的几率为多少？

3. 第三题:(20 分)

　　 1. 一质量为 \( m \) 的粒子于势场 \( V(x) \) 中运动， $$ V(x) = \begin{cases} \infty, & x<0 \\ 0, & 0 \leq |x| \leq a \\ \infty, & x > a \end{cases}~ $$ 求该粒子的能级及对应的本征波函数？

　　 2. 若一质量为 \( m \) 的粒子与势场 $$ V(x) = \begin{cases} V_0 > 0, & |x| \geq a \\ 0, & |x| < a \end{cases}~ $$ 中运动，求束缚态能级 \( E \) 所满足的方程。

　　 3. 若一质量为 \( m \) 的粒子于三维势场 \( V(r) \) 中运动， $$ V(r) = \begin{cases} -V_0, & 0 \leq r \leq a \\ 0, & r > a \end{cases}, V_0 > a~ $$ 则若欲得二个束缚态，其势能值 \( V_0 \) 至少应为多少？

4. 第四题:(15 分)

1. 何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符 $\hat{A} = -\frac{\partial}{\partial x}$ 是否是厄米？
2. 计算对易子 $[\hat{X}, \hat{P^n}]$ 的值？
3. 证明厄米算符有实的本征值？
4. 试说明为何要力学量对应为厄米算符？ 下面二组选做（五、六题与七、八题）任选一组解答。

5. 第五题:(15 分)

　　 证明对于任何束缚态，粒子动量 $\hat{P}$ 的平均值为零。

6. 第六题:(15 分)

　　 如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为 $r_0$ 表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对 氢原子基态能量的一级修正。(已知 $r_0 \ll a,a$ 为玻尔半径)

7. 第七题:(15 分)

　　 一质量为 $m$ 的高能粒子被势场 \[V(r) = \frac{-V_0}{r} \times \left( {\frac{e^{-r}}{a}} - 1.125 \times {\frac{e^{-2r}}{a}} \right)~\] 散射，$V_0$ 较小，$k$ 为入射波矢。

　　 射矢矢：

　　 (1) 用哪种方法计算某散射截面积较为合理？

　　 (2) 试指出在哪些方向上，散射粒子最少？

8. 第八题 (15 分)

　　 试写出定态微扰论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）