浙江大学 2000 年考研量子力学

贡献者：待更新

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1. 第一题:(20 分)

下列说法哪个是正确的？不正确的说法给予修正。
- a. 量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。
- b. 电子是粒子，又是波。
- c. 电子是粒子，不是波。
- d. 电子是波，不是粒子。
a. 厄米算符的定义是什么？算符 $x \frac{d}{dx}$ 是否厄米？
- b. 等式 $e^{\hat g} \cdot e^{\hat f} = e^{\hat g+\hat f}$ 何时成立？何时不成立？
若太阳为一黑体，人所能感受到的太阳光能量的最大波长为 $\lambda_m = 0.48 \\, \mu m$，太阳半径 $R = 7.0 \times 10^8 \\, \text{m}$，太阳质量 $m = 2 \times 10^{30} \\ \text{kg}$，试估算太阳质量由于热辐射而损耗 1% 所需要的时间。（斯特藩常数 $\sigma = 5.67 \times 10^{12} \text{W} / (\text{cm}^2 \text{K}^4)$）

2. 第二题:(20 分)

　　若有一粒子，质量为 $m$，在有限深势阱 $V(x) = \begin{cases} 0, & |x| \leq a \\\\ V_0, & |x| > a \end{cases}$ 中运动，$V_0$ 为某一正常数。

试推导出其能量本征值所满足的方程。
如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。
若粒子不作一维运动，而是三维运动，$V(r) = \begin{cases} 0, & 0 < r < a \\\\ V_0, & r \geq a \end{cases}$，试求出至少存在一个本征能的条件。

3. 第三题:(20 分)

在量子力学中，若 $\hat{H}$ 不显含时间，则力学量 $\hat{A}$ 为守恒量的定义是什么？守恒量 $\hat{A}$ 的本征态有何特点？
本征值简并的概念是如何表达的？一维运动的粒子（势为 $V(x)$），其能级是否简并？
在一维势场 $V(x)$ 中运动的粒子，其动量 $\hat{P_x}$ 是否守恒？
试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。

4. 第四题:（25 分）

　　若一二维谐振子哈密顿量为: \[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'~\] \[\hat{H}_0 = \frac{1}{2\mu} (\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2) + \frac{1}{2}\mu \omega^2 (x^2 + y^2)~\] \[\hat{H}' = 2\lambda xy (\lambda \\ \text{为一小量})~\]

用微扰论，求其基态的能量修正（至 $\lambda^2$ 项）及第一激发态的能量修正（至 $\lambda$ 项）。
如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。
相干态的定义为： \[ |\alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle \\, \hat{H}_0 \text{为一维线性谐振子的哈密顿量} \\ \hat{H}_0|n\rangle = E_n |n\rangle , ~\] $E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$ , 试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。

5. 第五题:(15 分)

　　质量为 $m$ 的粒子受到势能为 $V(r) = \frac{a}{r^2}$ 的场的散射（$a$ 为某一正常数），在入射能量极低的条件下，计算其微分散射截面。（球贝塞尔函数 $j_l \to \frac{\sin \left( x - \frac{l}{2} \pi \right)}{x} , \quad x \to \infty$）