浙江大学 2000 年 考研 量子力学

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1. 第一题:(20 分)

1. 下列说法哪个是正确的？不正确的说法给予修正。
   • a. 量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。
   • b. 电子是粒子，又是波。
   • c. 电子是粒子，不是波。
   • d. 电子是波，不是粒子。
2. a. 厄米算符的定义是什么？算符 $x\frac{d}{dx}$ 是否厄米？
   • b. 等式 $e^{\hat{g}}\cdot e^{\hat{f}}=e^{\hat{g}+\hat{f}}$ 何时成立？何时不成立？
3. 若太阳为一黑体，人所能感受到的太阳光能量的最大波长为 $$\begin{gathered} {\lambda }_m=0.48 \\ ,\mu m \end{gathered}$$，太阳半径 $$\begin{gathered} R=7.0\times {10}^8 \\ ,\text{m} \end{gathered}$$，太阳质量 $$\begin{gathered} m=2\times {10}^{30} \\ \text{kg} \end{gathered}$$，试估算太阳质量由于热辐射而损耗 1% 所需要的时间。（斯特藩常数 $\sigma =5.67\times {10}^{12}\text{W}/({\text{cm}}^2{\text{K}}^4)$）

2. 第二题:(20 分)

　　 若有一粒子，质量为 $m$，在有限深势阱 $V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& |x|\le a\\ \\ V_0,& |x|>a\end{array}$ 中运动，$V_0$ 为某一正常数。

1. 试推导出其能量本征值所满足的方程。
2. 如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。
3. 若粒子不作一维运动，而是三维运动，$V(r)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<r<a\\ \\ V_0,& r\ge a\end{array}$，试求出至少存在一个本征能的条件。

3. 第三题:(20 分)

1. 在量子力学中，若 $\hat{H}$ 不显含时间，则力学量 $\hat{A}$ 为守恒量的定义是什么？守恒量 $\hat{A}$ 的本征态有何特点？
2. 本征值简并的概念是如何表达的？一维运动的粒子（势为 $V(x)$），其能级是否简并？
3. 在一维势场 $V(x)$ 中运动的粒子，其动量 $\widehat{P_x}$ 是否守恒？
4. 试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。

4. 第四题:（25 分）

　　 若一二维谐振子哈密顿量为: $$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$$ $${\hat{H}}_0=\frac{1}{2\mu }({\hat{p}}_x^2+{\hat{p}}_y^2)+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2(x^2+y^2)$$ $$\begin{gathered} {\hat{H}}^{\prime }=2\lambda xy(\lambda \\ \text{为一小量}) \end{gathered}$$

1. 用微扰论，求其基态的能量修正（至 ${\lambda }^2$ 项）及第一激发态的能量修正（至 $\lambda$ 项）。
2. 如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。
3. 相干态的定义为： $$\begin{gathered} |\alpha ⟩=e^{-|\alpha {|}^2/2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n⟩ \\ ,{\hat{H}}_0\text{为一维线性谐振子的哈密顿量} \\ {\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩, \end{gathered}$$ $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$ , 试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。

5. 第五题:(15 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子受到势能为 $V(r)=\frac{a}{r^2}$ 的场的散射（$a$ 为某一正常数），在入射能量极低的条件下，计算其微分散射截面。（球贝塞尔函数 $j_l\to \frac{\sin (x-\frac{l}{2}\pi )}{x},x\to \mathrm{\infty }$）