厦门大学 2014 年 考研 量子力学

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1. 一、

　　 （1）下列波函数所描述的状态是否为定态？并说明。

　　 ①$\phi(x,t)=\varphi(x)e^{\frac{i}{\hbar}Et}+\varphi(x)e^{\frac{-i}{\hbar}Et}$

　　 ②$\phi(x,t)=\varphi(x)_1e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}+\varphi(x)_2e^{\frac{-i}{\hbar}(px+Et)}$

　　 2）已知算符 $A,B,C$ 中，$A$ 和 $B$ 对易，且 $A$ 和 $C$ 也对易，问 $B$ 和 $C$ 是否一定对易？举例说明你的结论。

　　 （3）对于全同粒子体系，什么是全同性原理？描写分别由电子和光子组成的全同粒子体系的波函数的特点。

　　 （4）什么是电子的自旋？电子自旋与轨道角动量有什么不同之处?

　　 （5）写出电磁场中带电粒子的薛定谔方程：它是否具有规范不变性？若有，指出在规范变换下波函数应作何变换？

2. 二、

　　 设质量为 m 的粒子处于下列一维无限深势阱中， $$V(x,y)=\begin{cases} 0,&0 < x < a \\\\ \infty ,& X < 0, x>a \end{cases}~ $$ 已知初始时刻粒子的波函数为 $\phi(X,0)=AX(a-X)$

　　 (1)求归一化系数 $A$;

　　 (2)给出粒子的能量本征态 $\phi_n(X)$ 及其能级 $E_n$ ;

　　 (3)求测得粒子处于能量本征态 $\phi_n(X)$ 的概率;

　　 (4)求 $t>0$ 时刻粒子的波函数 $\phi(X,t)$，只要求给出计数表达式。

3. 三、

　　 已知哈密顿量 $\hat{A}$ 的本征矢为 $|n\rangle$, 本征值为 $E_n$, 若 $\hat{A}$ 的本征矢组 $\{|n\rangle\}$ 构成正交归一的完备基, 定义一个算符 $\hat{U}(m,n)= \left\lvert m \right\rangle \left\langle n \right\rvert $

　　 (1) 计算对易式 $\left[\hat{H}, \hat{U}(m,n)\right]$;

　　 (2) 证明 $\hat{U}(m,n)\hat{U}^+(p,q) = \delta_{nq} \hat{U}(m,p)$;

　　 (3) 计算 $\hat{U}(m,n)$ 的迹 $\mathrm{Tr}\{\hat{U}(m,n)\}$;

　　 (4) 若算符 $\hat{A}$ 的矩阵元为 $A_{mn} = \langle m|\hat{A}|n\rangle$，证明：

　　 ① $\hat{A} =\sum_{mn} A_{mn} \hat{U}(m,n)$

　　 ②$A_{pq} =T_r\left\{\hat{A}\hat{U}^+(p,q)\right\}$

4. 四、

　　 一个质量为 $m$ 的一维粒子在如下势场中运动 $$V(X)=\frac{K}{2}(X-X_0)^2+V_0~$$ 其中 $k, x_0, V_0$ 为已知量

　　 （1）给出该离子系统的定态波函数以及相应的能量本征值；

　　 （2）讨论系统的能及间距对 $k,x_0$ 以及 $V_0$ 的依赖关系；

　　 （3）该系统有无可能存在非束缚态？

5. 五、

　　 氢原子处于下列状态 $$\Phi(r, s_z) = A \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{3}{5}} \phi_{100}(\vec{r}) + \sqrt{\frac{2}{5}} \phi_{211}(\vec{r}) \\\\ \sqrt{\frac{2}{5}} \phi_{100}(\vec{r}) - \sqrt{\frac{2}{5}} \phi_{200}(\vec{r}) \end{pmatrix}~ $$ 其中 $\phi_{nlm}$ 为能量本征函数，$\hat{H} \phi_{nlm} = E_n \phi_{nlm}$，求

1. 归一化常数 $A$；
2. 轨道角动量 $L_z$ 的平均值；
3. 同时测量 $E = E_2$，$L^2 = 2\hbar^2$ 的概率；
4. 电子处于总角动量 $j = 3/2$，$m_j = 3/2$ 的概率。

6. 六、

　　 已知微扰前体系的哈密顿量 $H_0$ 存在一系列非简并能级 $E_n^{(0)}$，相应的能量本征态记为 $|n\rangle$ ($n = 0, 1, 2, 3, \cdots$)。给定厄米算符 $A, B$，以及 $C = i[B, A]$，并且 $A, B, C$ 在微扰前基态 $|0\rangle$ 下的平均值均为已知，记为 $A_0, B_0, C_0$。假设体系受到微扰作用，微扰算符可以表示为 $H' = i\lambda[A, H_0]$（$\lambda$ 为实数小量）

　　 求：

　　 (1) 基态波函数的一阶修正；

　　 (2) 算符 $B$ 在修正后基态下的平均值（准确至 $\lambda$ 量级）。