厦门大学 2013 年 考研 量子力学

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1. 一、

　　 （1）设 $\phi (x{)}_1,\phi (x{)}_2$ 是体系的两个可能状态，有下面三种线性 叠加：

　　 ① ${\varphi }_A=\phi (x{)}_1+\phi (x{)}_2{e}^{i\delta }$

　　 ② ${\varphi }_B=\phi (x{)}_1+\phi (x{)}_2$

　　 ③ ${\varphi }_C=e^{i\delta }(\phi (x{)}_1+\phi (x{)}_2)$

　　 式中 $\delta$ 为实常数（$\delta \ne 2n\pi$），问 ${\varphi }_A,{\varphi }_B,{\varphi }_C$ 是否表示相同的态

　　 （2）什么是厄米算符？它具有什么特征使得可观测量需要有厄米算符表示？试证明动量地 $x$ 分量是厄米算符。

　　 （3）若体系的波函数为 $Y_{lm}(\theta ,\phi )(l\ne 0)$,求其轨道角动量矢量与 $z$ 轴的夹角。

　　 （4）若两个力学量算符 $F$ 与 $G$ 的对易关系为 $[F,G]=ik$,试写出 $F$ 与 $G$ 的测不准关系式，有哪些要求。

　　 （5）粒子的总能量 $E=T+V$,若微观粒子处于经典禁区（$E$ 小于 $V$）,这是否意味着 $T$ 小于 0？为什么？

2. 二、

　　 设力学量算符 $A$ 与体系的哈密顿算符 $H$ 不对易，已知 $A$ 有两个本征态 ${\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2$（相应的本征值为 $A_1,A_2$ ）。${\mathrm{\Psi }}_1=\frac{{\varphi }_1+{\varphi }_2}{\sqrt{2}},{\mathrm{\Psi }}_1=\frac{{\varphi }_1-{\varphi }_2}{\sqrt{2}}$ 这里 ${\varphi }_1,{\varphi }_2$ 为 $H$ 的归一化本征态(相应的本征值为 $E_1,E_2$ ).设体系的初始态为 $\mathrm{\Psi }(0)={\mathrm{\Psi }}_1$ 求：

　　 (1)$t$ 时刻（$t$ 大于 0）体系的波函数 $\mathrm{\Psi }(t)$;

　　 (2)将 $\mathrm{\Psi }(t)$ 展开为 $A$ 的本征态的叠加;

　　 (3)求出 $t$ 时刻（$t$ 大于 0）$A$ 的平均值 $\bar{A}(t)$.

3. 三、

　　 一刚性转子转动惯量为 $I$，它的能量经典表示式为 $H=\frac{L^2}{2I}$,其中 $L$ 为轨道角动量。求与此相应的量子体系在下列情况下的定态能 量及波函数：

　　 (1)转子绕一固定轴（$z$ 轴）转动;

　　 (2) 转子绕一固定点转动;

4. 四、

　　 一个质量为 $m$ 的粒子处在如下一维势场 $V_1(X)=\frac{K}{2}{X}^2(k\text{大于}0)$ 的基态。

　　 （1）若弹性系数 $k$ 突然变为 $2k$，即势场变为 $V_2(X)=\frac{K}{2}{X}^2$ ,立即 测量粒子的能量，求发现粒子处于新的势场 $V_2(X)$ 基态的概率；

　　 （2）势场突然由 $V_1(X)$ 变成 $V_2(X)$ 后不进行测量，经过一段时间τ 后，势场又恢复为 $V_1(X)$，问 $\tau$ 取何值时可以恢复到原来势场 $V_1(X)$ 的基态。

5. 五、

　　 自旋投影算符定义 $\overrightarrow{S_n}=\frac{\hslash }{2}\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{n}$,其中 $\overrightarrow{\sigma }$ 为泡利矩阵，$\overrightarrow{n}(\sin \varphi \cos \phi ,\sin \varphi \sin \phi ,\cos \varphi )$ 为 $(\varphi ,\phi )$ 方向上的单位矢量。 求：

　　 （1）求 $\overrightarrow{S_n}$ 的本征值与本征态;

　　 （2）对电子自旋向上的态 $X_{+}(S_z=\frac{\hslash }{2})$,求 $\overrightarrow{S_n}$ 的可能测量值以及相应的概率；

　　 （3）在 ${\sigma }_z$ 表象中求 ${\sigma }_y$ 的本征值与本征态；

　　 （4）$\overrightarrow{{\sigma }_n}=\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{n}$ 本征值为 1 的本征态，求 ${\sigma }_y$ 的可能测量值以及相应的概率；

6. 六、

　　 一质量为 $m$ 的粒子在二维无限深势阱中运动 $$V(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x,y<a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{其余区域}\end{array}$$ 设加上微扰 $H^{\prime }=\mathrm{\Lambda }xy(0<x,y<a)$

　　 求：

　　 （1）不考虑微扰时粒子的能量和波函数;

　　 （2）不考虑微扰时粒子的基态及第一激发态能量是否简并;

　　 （3）基态能量的一级修正;

　　 （4）第一激发态能量的一级修正.