厦门大学 2013 年 考研 量子力学

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1. 一、

　　 （1）设 $\varphi(x)_1, \varphi(x)_2$ 是体系的两个可能状态，有下面三种线性 叠加：

　　 ① $\phi_A = \varphi(x)_1 + \varphi(x)_2 e^{i\delta}$

　　 ② $\phi_B= \varphi(x)_1 + \varphi(x)_2 $

　　 ③ $\phi_C =e^{i\delta} (\varphi(x)_1 + \varphi(x)_2)$

　　 式中 $\delta$ 为实常数（$\delta \ne 2n\pi$），问 $\phi_A ,\phi_B , \phi_C$ 是否表示相同的态

　　 （2）什么是厄米算符？它具有什么特征使得可观测量需要有厄米算符表示？试证明动量地 $x$ 分量是厄米算符。

　　 （3）若体系的波函数为 $Y_{lm} (\theta, \varphi)(l\ne 0)$,求其轨道角动量矢量与 $z$ 轴的夹角。

　　 （4）若两个力学量算符 $F$ 与 $G$ 的对易关系为 $[F,G]=ik$,试写出 $F$ 与 $G$ 的测不准关系式，有哪些要求。

　　 （5）粒子的总能量 $E=T+V$,若微观粒子处于经典禁区（$E$ 小于 $V$）,这是否意味着 $T$ 小于 0？为什么？

2. 二、

　　 设力学量算符 $A$ 与体系的哈密顿算符 $H$ 不对易，已知 $A$ 有两个本征态 $\Psi_1,\Psi_2 $（相应的本征值为 $A_1 , A_2$ ）。$\Psi_1=\frac{\phi_1+\phi_2}{\sqrt{2}},\Psi_1=\frac{\phi_1-\phi_2}{\sqrt{2}}$ 这里 $\phi_1,\phi_2$ 为 $H$ 的归一化本征态(相应的本征值为 $E_1 , E_2$ ).设体系的初始态为 $\Psi(0)=\Psi_1$ 求：

　　 (1)$t$ 时刻（$t$ 大于 0）体系的波函数 $\Psi(t)$;

　　 (2)将 $\Psi(t)$ 展开为 $A$ 的本征态的叠加;

　　 (3)求出 $t$ 时刻（$t$ 大于 0）$A$ 的平均值 $\overline A(t)$.

3. 三、

　　 一刚性转子转动惯量为 $I$，它的能量经典表示式为 $H=\frac{L^2}{2I}$,其中 $L$ 为轨道角动量。求与此相应的量子体系在下列情况下的定态能 量及波函数：

　　 (1)转子绕一固定轴（$z$ 轴）转动;

　　 (2) 转子绕一固定点转动;

4. 四、

　　 一个质量为 $m$ 的粒子处在如下一维势场 $V_1(X) = \frac{K}{2}X^2(k \text{大于} 0)$ 的基态。

　　 （1）若弹性系数 $k$ 突然变为 $2k$，即势场变为 $V_2(X) = \frac{K}{2}X^2$ ,立即 测量粒子的能量，求发现粒子处于新的势场 $V_2(X)$ 基态的概率；

　　 （2）势场突然由 $V_1(X)$ 变成 $V_2(X)$ 后不进行测量，经过一段时间τ 后，势场又恢复为 $V_1(X)$，问 $\tau$ 取何值时可以恢复到原来势场 $V_1(X)$ 的基态。

5. 五、

　　 自旋投影算符定义 $\vec{S_n}=\frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}\cdot \vec{n}$,其中 $\vec{\sigma}$ 为泡利矩阵，$\vec{n}(\sin\phi\cos\varphi,\sin\phi\sin\varphi,\cos\phi)$ 为 $(\phi,\varphi)$ 方向上的单位矢量。 求：

　　 （1）求 $\vec{S_n}$ 的本征值与本征态;

　　 （2）对电子自旋向上的态 $X_+(S_z=\frac{\hbar}{2})$,求 $\vec{S_n}$ 的可能测量值以及相应的概率；

　　 （3）在 $\sigma_z$ 表象中求 $\sigma_y$ 的本征值与本征态；

　　 （4）$\vec{\sigma_n}=\vec{\sigma}\cdot\vec{n}$ 本征值为 1 的本征态，求 $\sigma_y$ 的可能测量值以及相应的概率；

6. 六、

　　 一质量为 $m$ 的粒子在二维无限深势阱中运动 $$V(x,y)=\begin{cases} 0,&0 < x, y < a\\\\ \infty ,& \text{其余区域} \end{cases}~ $$ 设加上微扰 $H^\prime=\Lambda xy(0 < x, y < a)$

　　 求：

　　 （1）不考虑微扰时粒子的能量和波函数;

　　 （2）不考虑微扰时粒子的基态及第一激发态能量是否简并;

　　 （3）基态能量的一级修正;

　　 （4）第一激发态能量的一级修正.