浙江大学 1998 年 考研 量子力学

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1. 第一题:(10 分)

　　 (1) 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

　　 (2) 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件，设外磁场强度为 $B$。）

2. 第二题:(20 分)

　　 (1) 若一质量为 $\mu$ 的粒子在一维势场 $V(x) =\begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a, \\\\ \infty, & x > a , x < 0\end{cases}$ 中运动，求粒子的可能能级。

　　 (2) 若某一时刻加上了形如 $e \sin \frac{\omega x}{a} $（$e \ll 1$）的势场，求其基态能级至三级修正（$\omega$ 为一已知常数）。

　　 (3) 若势能 $V(x)$ 变成

　　 $$V(x) =\begin{cases} \frac{1}{2} \mu \omega^2 x^2, & x > 0, \\\\ \infty, & x < 0\end{cases}~$$

　　 求粒子（质量为 $\mu$）的可能的能级。

3. 第三题:(20 分)

　　 氢原子处于基态，其波函数形如 $\psi = c e^{-\frac{r}{a}}$，$a$ 为玻尔半径，$c$ 为归一化系数。

1. 利用归一化条件，求出 $c$ 的形式。
2. 设几率密度为 $P(r)$，试求出 $P(r)$ 的形式，并求出最可能半径 $r$。
3. 求出势能及动能在基态时的平均值。
4. 用何种定理可把 $\langle \hat{V} \rangle$ 及 $\langle \hat{T} \rangle$ 联系起来？

4. 第四题:(15 分)

　　 一转子，其哈密顿算符量 $\hat{H} = \frac{\hat{L}_x^2}{2I_x} + \frac{\hat{L}_y^2}{2I_y} + \frac{\hat{L}_z^2}{2I_z}$，转子的轨道角动量量子数是 1。

1. 试在角动量表示象中求出角动量分量 $\hat{L}_x$，$\hat{L}_y$，$\hat{L}_z$ 的形式；
2. 求出 $\hat{H}$ 的本征值。

5. 第五题:(20 分)

　　 若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化 $$\vec{E} = \begin{cases} 0, & t \leq 0 \\\\\varepsilon_0 e^{-\frac{t}{\tau}}, & t > 0\end{cases}~$$ $\tau$ 为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于 $2P$ 态的几率。（设 $\hat{H}'$ 为微扰哈密顿算符， $$\langle \hat{H}' \rangle_{100,210} = \frac{2^8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a\varepsilon_0 e}{3^5}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}~$$；(当 $t > 0 \langle \hat{H}' \rangle_{100,21\pm 1} = 0 $)

6. 第六题:（15 分）

　　 (1) 用玻恩近似法，求粒子处于势场 $V(x) = -V_0 e^{-\frac{r}{a}}$，($a > 0$) 中散射的微分散射截面。（设粒子的约化质量为 $\mu$）。

　　 (2) 从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。