厦门大学 2012 年 考研 量子力学

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1. 一、

　　 （1）波函数归一化条件的物理意义是什么？物理上对波函数有哪些要求？

　　 （2）什么是幺正算符？若 $ A,B,C$ 为幺正算符则它们的积 $ABC$ 是不是幺正算符？为什么？

　　 （3）光的辐射分成几种过程？若粒子由能级 $E2$ 跃迁到能级 $E1$，写出辐射光子的频率。

　　 （4）对处于某量子态的电子，如沿 $Z$ 轴方向测量其自旋，总是得到 $+\frac{h}{2}$ 的结果，那么沿 $X$ 轴方向测量其自旋会得到什么结果？

　　 （5）若算符 $A$ 不显含时间且与体系的哈密顿量 $H$ 对易，即 $[A,H]=0$,那么 $A$ 是体系的守恒量吗？说出你的判断理论。

2. 二、

　　 设粒子处在下列一维无限深势阱中， \[V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a \\\\\infty, & \text{其余区域}\end{cases}~\]

　　 (1) 写出粒子波函数所满足的边界条件；

　　 (2) 写出粒子的能级 $E_n$ 以及相应的波函数 $\Psi_n(x)$；

　　 (3) 若粒子的初始波函数为 $\Psi(x,0) = A\sin^3 \left(\frac{\pi x}{a}\right)$，$0 \leq x \leq a$，式中 $A$ 为归一化常数。

　　 [提示：$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$，不知道这个式子对不对]

　　 ①求出 $A$ 和 $t$ 时刻的波函数 $\Psi(x,t)$;

　　 ②计算粒子的坐标平均值 $x$.

3. 三、

　　 设算符 $A$ 和 $B$ 不对易，$[A,B]=C$，但 $A$ 和 $B$ 都与 $C$ 对易，即 $[A,C]=0,[B,C]=0$ 试证明：

　　 (1)$[A, B^m] =n CB^{m-1} ,m$ 为整数;

　　 (2)$[A, e^B] =Ce^B$ 转子绕一固定点转动;

　　 (3)$e^{A+B} =e^A+e^B+e^{-\frac{c}{2}}$

4. 四、

　　 采用自然单位制，类氢离子中电子处于能量本征态 $$\Psi(r,\theta)=\frac{1}{81}\sqrt{\frac{2}{\pi}}Z^{3/2}(6-Zr)e^{Zr/3}\cos\theta~$$ 其中 $r$ 是以玻尔半径 $a$ 为单位表示的。

　　 （1）求主量子数 $n$,轨道量子数 $l$ 和磁量子数 $m$ 的值;

　　 （2）当一个电子处于 $\Psi(r,\theta)$ 态且 $Z=1$ 时，计算 $r$ 的最可几半径;

　　 （3）由 $\Psi(r,\theta)$ 态出发构造另一个具有相同 $n,l$ 值，但是磁量子 数为 $m+1$ 的能量本征态.

　　 [提示：在球坐标下 $Y_{10}=\sqrt{\frac{3}{4 \pi}}\cos\theta,L_+=e^{i\varphi}\frac{\alpha}{\alpha\theta}+i\cot\theta e^{i\varphi}\frac{\alpha}{\alpha\varphi}$]

5. 五、

　　 一个由三个自旋 1/2 的离子构成的系统，三个粒子的自旋算 符分别为 $\vec{S_1},\vec{S_2},\vec{S_3}$

　　 （1）先考虑其中两个粒子的自旋耦合 $\vec{S_{12}}=\vec{S_1}+\vec{S_2}$ 写出 $\vec{S_{12}}$⃗的自旋量子数 $S_{12}$ 的可能取值;

　　 （2）再考虑三个粒子的自旋耦合 $\vec{S}=\vec{S_12}+\vec{S_3}$ 写出其自旋量子数 $s$ 的可能取值;

　　 （3）假设系统的哈密顿量为 $H=\frac{A}{\hbar^2}\vec{S_1}\cdot\vec{S_2}+\frac{B}{\hbar^2}(\vec{S_1}+\vec{S_2})\cdot\vec{S_3}$ 式中 $A,B$ 为常数，求系统的能级以及能级简并度。

　　 [提示：选取系统的力学量完全集为（$\vec{S_{12}} , \vec{S^2} , \vec{S_Z}$）]

6. 六、

　　 考虑一个受扰的处于无限深势阱中的粒子，其哈密顿量 $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)+H^\prime$ 式中为 $m$ 的粒子在二维无限深势阱中运动 $$V(X)=\begin{cases} 0,&0 < x < a\\\\ \infty,&\text{其余区域} \end{cases}~$$ $$H^\prime=\begin{cases} \Lambda x ,&0 < x < a\\\\ 0,&\text{其余区域} \end{cases}~$$ 将 $H^\prime$ 微扰计算保留至 $\Lambda$ 的一阶近似时该粒子的所有能量本征值。

　　 又如果微扰变为$$H^\prime(x)=\begin{cases} \Lambda (x-\frac{a}{2} ),&0 < x < a\\\\ 0,&\text{其余区域} \end{cases}~$$时又如何？