厦门大学 2012 年 考研 量子力学

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1. 一、

　　 （1）波函数归一化条件的物理意义是什么？物理上对波函数有哪些要求？

　　 （2）什么是幺正算符？若 $A,B,C$ 为幺正算符则它们的积 $ABC$ 是不是幺正算符？为什么？

　　 （3）光的辐射分成几种过程？若粒子由能级 $E2$ 跃迁到能级 $E1$，写出辐射光子的频率。

　　 （4）对处于某量子态的电子，如沿 $Z$ 轴方向测量其自旋，总是得到 $+\frac{h}{2}$ 的结果，那么沿 $X$ 轴方向测量其自旋会得到什么结果？

　　 （5）若算符 $A$ 不显含时间且与体系的哈密顿量 $H$ 对易，即 $[A,H]=0$,那么 $A$ 是体系的守恒量吗？说出你的判断理论。

2. 二、

　　 设粒子处在下列一维无限深势阱中， $$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x\le a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{其余区域}\end{array}$$

　　 (1) 写出粒子波函数所满足的边界条件；

　　 (2) 写出粒子的能级 $E_n$ 以及相应的波函数 ${\mathrm{\Psi }}_n(x)$；

　　 (3) 若粒子的初始波函数为 $\mathrm{\Psi }(x,0)=A{\sin }^3\left(\frac{\pi x}{a}\right)$，$0\le x\le a$，式中 $A$ 为归一化常数。

　　 [提示：$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$，不知道这个式子对不对]

　　 ①求出 $A$ 和 $t$ 时刻的波函数 $\mathrm{\Psi }(x,t)$;

　　 ②计算粒子的坐标平均值 $x$.

3. 三、

　　 设算符 $A$ 和 $B$ 不对易，$[A,B]=C$，但 $A$ 和 $B$ 都与 $C$ 对易，即 $[A,C]=0,[B,C]=0$ 试证明：

　　 (1)$[A,B^m]=nC{B}^{m-1},m$ 为整数;

　　 (2)$[A,e^B]=C{e}^B$ 转子绕一固定点转动;

　　 (3)$e^{A+B}=e^A+e^B+e^{-\frac{c}{2}}$

4. 四、

　　 采用自然单位制，类氢离子中电子处于能量本征态 $$\mathrm{\Psi }(r,\theta )=\frac{1}{81}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{Z}^{3/2}(6-Zr)e^{Zr/3}\cos \theta$$ 其中 $r$ 是以玻尔半径 $a$ 为单位表示的。

　　 （1）求主量子数 $n$,轨道量子数 $l$ 和磁量子数 $m$ 的值;

　　 （2）当一个电子处于 $\mathrm{\Psi }(r,\theta )$ 态且 $Z=1$ 时，计算 $r$ 的最可几半径;

　　 （3）由 $\mathrm{\Psi }(r,\theta )$ 态出发构造另一个具有相同 $n,l$ 值，但是磁量子 数为 $m+1$ 的能量本征态.

　　 [提示：在球坐标下 $Y_{10}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta ,L_{+}=e^{i\phi }\frac{\alpha }{\alpha \theta }+i\cot \theta e^{i\phi }\frac{\alpha }{\alpha \phi }$]

5. 五、

　　 一个由三个自旋 1/2 的离子构成的系统，三个粒子的自旋算 符分别为 $\overrightarrow{S_1},\overrightarrow{S_2},\overrightarrow{S_3}$

　　 （1）先考虑其中两个粒子的自旋耦合 $\overrightarrow{S_{12}}=\overrightarrow{S_1}+\overrightarrow{S_2}$ 写出 $\overrightarrow{S_{12}}$⃗的自旋量子数 $S_{12}$ 的可能取值;

　　 （2）再考虑三个粒子的自旋耦合 $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{S_{1}2}+\overrightarrow{S_3}$ 写出其自旋量子数 $s$ 的可能取值;

　　 （3）假设系统的哈密顿量为 $H=\frac{A}{{\hslash }^2}\overrightarrow{S_1}\cdot \overrightarrow{S_2}+\frac{B}{{\hslash }^2}(\overrightarrow{S_1}+\overrightarrow{S_2})\cdot \overrightarrow{S_3}$ 式中 $A,B$ 为常数，求系统的能级以及能级简并度。

　　 [提示：选取系统的力学量完全集为（$\overrightarrow{S_{12}},\overrightarrow{S^2},\overrightarrow{S_Z}$）]

6. 六、

　　 考虑一个受扰的处于无限深势阱中的粒子，其哈密顿量 $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)+H^{\prime }$ 式中为 $m$ 的粒子在二维无限深势阱中运动 $$V(X)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{其余区域}\end{array}$$ $$H^{\prime }=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Lambda }x,& 0<x<a\\ \\ 0,& \text{其余区域}\end{array}$$ 将 $H^{\prime }$ 微扰计算保留至 $\mathrm{\Lambda }$ 的一阶近似时该粒子的所有能量本征值。

　　 又如果微扰变为$$H^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Lambda }(x-\frac{a}{2}),& 0<x<a\\ \\ 0,& \text{其余区域}\end{array}$$时又如何？