厦门大学 2011 年 考研 量子力学

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1. (25 分)简述题(每小题 5 分)

　　 (1) 波函数有没有物理含义？它的物理含义体现在哪里？物理上对波函数有哪些要求？

　　 (2) 什么是态矢？在什么情况下，可以用态矢来描述量子体系的特征？定念具有哪些性质？

　　 (3) 利用测不准关系，估算一维无限深势阱 $V(x) = \begin{cases} 0, & |x| < a \\\\ \infty, & |x| \geq a \end{cases}$ 中质点为 $m$ 的粒子的基态能量。

　　 (4) 在希尔伯特 (Hilbert) 空间中，正交归一的完备基矢组设为{k)}，试分别就分立谱和连续谱情形，写出这组基天完备性的数学表示式。

　　 (5) 一来单能量无相互作用的粒子流，经中心势场 $V(r)$ 弹性散射后，在 $r=0$ 处的渐近解为 $$ \psi = e^{ikz} + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r},~$$ 试解释 $\psi$ 表达式中第一项和第二项的物理意义，并说明 $f(\theta)$ 的含义。

2. (25 分)

　　 一维谐振子能量本征态记为 $\psi_n(x)$, 假设一个谐振子初始状态为

　　 $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi_0(x) + \psi_2(x) \right]~$$

　　 试求: (1) 任意时刻 ($t > 0$) 的波函数 $\psi(x,t)$;

　　 (2) 经过多少时间第一次演化为状态 $$\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi_0(x) + i \psi_2(x) \right]~$$.

3. (25 分)

　　 设质量为 $m$ 的一维粒子在如下势场中运动： \[V(x) =\begin{cases} \infty, & x \leq 0 \\\\ -\frac{\alpha \hbar^2}{mx}, & x > 0\end{cases}~\] 其中 $\alpha > 0$ 是一个系统参数。

　　 (1) 证明 $\psi_0(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\\\ N xe^{-\alpha x}, & x > 0 \end{cases} $ 是该系统定念薛定谔方程的一个解，并求出相应的本征值:

　　 (2) 求出归一化因子 $N$。参考公式： \[\int_0^\infty x^n e^{- \alpha x} dx = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}~\]

　　 (3) 对于 $\psi_0(x)$ 态，计算平均动能和平均势能。

　　 (4) 对于 $\psi_0(x)$ 态，计算何处几率密度最大。

　　 (5) 判断 $\psi_0(x)$ 态是否为基态？给出判断理由。

4. (25 分)

　　 对于任意一个幺正算符 \( U \)

　　 (1) 若把 \( U \) 表示成 \( U = A + iB \) 的形式，证明 \( A \) 和 \( B \) 必为厄米 (Hermite) 算符，且满足 \( A^2 + B^2 = 1 \)，\([A, B] = 0 \)。

　　 (2) 若把 \( U \) 表示成 \( U = e^{iF} \)，证明 \( F \) 必为厄米算符。

5. (25 分)

　　 某单价原子，已知价电子的波函数(不考虑自旋)为 $$\psi(r,\theta,\varphi)=R_{32}(r)\frac{1}{\sqrt{2}}[Y_{21}(\theta,\phi)+Y_{20}(\theta,\phi)]~$$ 其中 $Y_{im}$ 为轨道角动量算符广 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_2$ 的共同本征函数。

　　 求:(1)$\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_2$ 的可能测量值和相应的概率;

　　 (2)平均值 $\overline{L}_x,\overline{L}_y,\overline{L^2_x},\overline{L^2_y}$

6. (25 分)

　　 自旋为 $\frac{1}{2}$ 的三维各向同性振子,受到微扰 $H'=\lambda \vec{\sigma}\cdot \vec{r}$ 的作用($\vec{\sigma}$ 是泡利(Pauli)自旋算符)。

　　 (1)写出在受到微扰作用之前，体系的哈密顿(Hamiton)量 $H_0$、能级.$E^0_n$ 和能量本征函数 $\psi^0_{n_1n_2n_yn_x}(x,y,z,S,)$ 指出 $n$ 与 $n_1,n_2,n_3$ 之间的关系。

　　 (2)将能量本征态 $ \left\lvert n_1,n_2,n_3,m_3 \right\rangle $ 简记为 $ \left\lvert n \right\rangle $，若体系基态是 $ \left\lvert 0 \right\rangle = \left\lvert 000\frac{1}{2} \right\rangle $,证明在微扰矩阵元中 $\langle n | H' | 0 \rangle$ 中，只有 $\langle 100-\frac{1}{2} | H' | 000\frac{1}{2} \rangle$,$\langle 010\frac{1}{2} | H' | 000\frac{1}{2} \rangle$ 和 $\langle 001\frac{1}{2} | H' | 000\frac{1}{2} \rangle$ 不为零，并求出其值.

　　 (3)求基态能级的微扰修正(准确到二级近似)。【提示】一维谐振子的能量本征态,$\psi_n(x)$ 满足 $$x\psi_n(x)=\frac{1}{\alpha}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)\right]~$$