厦门大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 一、(25 分)简述题(每小题 5 分)

1. 什么是叠加原理？
2. 什么是基态？写出二维各向同性谐振子基态的能级表达式。
3. 什么是厄米（Hermite）算符？动量算符是不是厄米算符？
4. 粒子在中心力场中运动，问：$L_z$ 和 $p_y$ 是守恒量吗？为什么？ 其中 $L_z$、$p_y$ 分别为轨道角动量和动量在 y 方向的分量。
5. "设力学量算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 能相互对易，若 $\psi$ 是 $\hat{F}$ 的特征态，则 $\psi$ 也是 $\hat{G}$ 的特征态。" 这句话对吗？试举一例说明。

2. 二、(25 分)

　　 设质量为 m 的一维自由粒子初始态为 $\psi(x,t)$，证明在足够长时间后 $$\psi(x,t) = \sqrt{\frac{m}{\hbar t}} e^{-i\frac{\pi}{4}} \exp \left[ \frac{imx^2}{2\hbar t} \right] \cdot \varphi \left( \frac{mx}{\hbar t} \right)~$$

　　 $$\text{式中}\varphi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x, 0) e^{-ikx} dx \quad \text{是} \quad \psi(x, 0) \quad \text{的傅里叶}~$$ $$\text{(Fourier) 变换.[ 附:} \quad \lim_{a \to \infty} \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} e^{i \frac{\pi}{4}} \exp\left(-i \alpha x^2\right) = \delta(x)]~$$

3. 三、(25 分)

　　 求证在角动量 $z$ 分量 $\hat{L_z}$ 的本征态下 $\overline{L_z} = \overline{L_y} = 0.$ $$\overline{L_x L_y} = \frac{1}{2} m \hbar^2 i = - \overline{L_y L_x}.~$$

4. 四、(25 分)

　　 对于一维谱振子，取基态试探波数形式为 $e^{-\lambda x^2}$，$\lambda$ 为参数。用变分法求基态能量，并与严格解比较,

5. 五、(25 分)

　　 设氢原子的状态是 $$\psi = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} R_{21}(r)Y_{11}(\theta, \varphi) \\\\-\frac{\sqrt{3}}{2} R_{21}(r)Y_{10}(\theta, \varphi)\end{pmatrix}~$$

　　 (1) 求轨道角动量 $z$ 分量 $\hat{L}_z$ 和自旋角动量 $z$ 分量 $\hat{S}_z$ 的平均值。

　　 (2) 求总磁矩 $\hat{\vec M} = -\frac{e}{2\mu} \hat{L} - \frac{e}{\mu} \hat{\vec S}$ 的 $z$ 分量的平均值 (用波尔磁矩表示)。

6. 六、(25 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维势场 $V(x)$ 中运动，能级为 $E_n^{(0)}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$

　　 如受到微扰 $H' = \frac{\lambda}{m} p$ 作用（$\lambda$ 为常数，$p$ 是 $p_x$ 的简写），求能级修正。

　　 （准确到二级近似）

　　 [提示] $$\quad \sum_k \left( E_k^{(0)} - E_n^{(0)} \right) \left| x_{kn} \right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m}.~$$