厦门大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 一、(25 分)简述题(每小题 5 分)

1. 什么是叠加原理？
2. 什么是基态？写出二维各向同性谐振子基态的能级表达式。
3. 什么是厄米（Hermite）算符？动量算符是不是厄米算符？
4. 粒子在中心力场中运动，问：$L_z$ 和 $p_y$ 是守恒量吗？为什么？ 其中 $L_z$、$p_y$ 分别为轨道角动量和动量在 y 方向的分量。
5. "设力学量算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 能相互对易，若 $\psi$ 是 $\hat{F}$ 的特征态，则 $\psi$ 也是 $\hat{G}$ 的特征态。" 这句话对吗？试举一例说明。

2. 二、(25 分)

　　 设质量为 m 的一维自由粒子初始态为 $\psi (x,t)$，证明在足够长时间后 $$\psi (x,t)=\sqrt{\frac{m}{\hslash t}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}\exp \left[\frac{im{x}^2}{2\hslash t}\right]\cdot \phi \left(\frac{mx}{\hslash t}\right)$$

　　 $$\text{式中}\phi (k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\psi (x,0)e^{-ikx}dx\text{是}\psi (x,0)\text{的傅里叶}$$ $$\text{(Fourier) 变换.[ 附:}\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{\alpha }{\pi }}{e}^{i\frac{\pi }{4}}\exp (-i\alpha x^2)=\delta (x)]$$

3. 三、(25 分)

　　 求证在角动量 $z$ 分量 $\widehat{L_z}$ 的本征态下 $\overline{L_z}=\overline{L_y}=0.$ $$\overline{L_x{L}_y}=\frac{1}{2}m{\hslash }^{2}i=-\overline{L_y{L}_x}.$$

4. 四、(25 分)

　　 对于一维谱振子，取基态试探波数形式为 $e^{-\lambda x^2}$，$\lambda$ 为参数。用变分法求基态能量，并与严格解比较,

5. 五、(25 分)

　　 设氢原子的状态是 $$\psi =\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}{R}_{21}(r)Y_{11}(\theta ,\phi )\\ \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{21}(r)Y_{10}(\theta ,\phi )\end{array}\right)$$

　　 (1) 求轨道角动量 $z$ 分量 ${\hat{L}}_z$ 和自旋角动量 $z$ 分量 ${\hat{S}}_z$ 的平均值。

　　 (2) 求总磁矩 $\hat{\overrightarrow{M}}=-\frac{e}{2\mu }\hat{L}-\frac{e}{\mu }\hat{\overrightarrow{S}}$ 的 $z$ 分量的平均值 (用波尔磁矩表示)。

6. 六、(25 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维势场 $V(x)$ 中运动，能级为 $E_n^{(0)}$, $n=1,2,3,\dots$

　　 如受到微扰 $H^{\prime }=\frac{\lambda }{m}p$ 作用（$\lambda$ 为常数，$p$ 是 $p_x$ 的简写），求能级修正。

　　 （准确到二级近似）

　　 [提示] $$\sum _k(E_k^{(0)}-E_n^{(0)}){\left|x_{kn}\right|}^2=\frac{{\hslash }^2}{2m}.$$