厦门大学 2008 年 考研 量子力学

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1. (25 分)简述题(每小题 5 分)

　　 (1) 解释微观粒子的波粒二象性，并写出德布罗意（de Broglie）关系式。

　　 (2) 解释能级简并的概念并指出其起因。

　　 (3) 经典力学和量子力学中，守恒量的含义有何不同？

　　 (4) Clebsch-Gordan 系数（记为 $⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|jm⟩$）不为零的条件。

　　 (5) 微扰论的适用条件是什么？在库仑场中，微扰理论为什么不适用于计算高能级（$n$ 较大）的修正？

2. (25 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在外场作用下作一维运动 $(-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty })$，已知其处于束缚态 ${\phi }_1(x)$ 时，动能的平均值等于 $E_1$，并已知 ${\phi }_1(x)$ 是实函数且已归一化。试求当粒子处于态 ${\phi }_2(x)={\phi }_1(x)e^{ikx}$（$k$ 为实数）时动量平均值及动能平均值。

3. (25 分)

　　 设已知在 $L^2$ 和 $L_z$ 的共同表象中，算符 $L_x$ 和 $L_y$ 的矩阵分别为

　　 $$L_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \\ 1& 0& 1\\ \\ 0& 1& 0\end{array}\right),L_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ \\ i& 0& -i\\ \\ 0& i& 0\end{array}\right).$$

　　 (1)求 $L_z$ 和 $L_y$,的本征值和归一化的本征函数:

　　 (2)将矩阵 $L_z$ 和 $L_y$，对角化。

4. (25 分)

　　 一电子处于自旋态 $$\chi =A\left(\begin{array}{c}3i\\ \\ 4\end{array}\right),$$ 求：

　　 (1) 归一化常数 $A$；

　　 (2) 自旋 $S_x$, $S_y$, $S_z$ 的平均值；

　　 (3) $S_x$, $S_y$, $S_z$ 的不确定度 ${\mathrm{\Delta }}_i=\sqrt{⟨(S_i^2-⟨S_i⟩{)}^2⟩}$。

5. (25 分)

　　 设在 $t=0$ 时氢原子的波函数为 $$\psi (r,0)=\frac{1}{3}({\psi }_{100}+{\psi }_{210}+2{\psi }_{211}+\sqrt{3}{\psi }_{21-1})$$ 式中下标是量子数 $n,l,m$ 的值。试求：

　　 (1) 体系能量的期望值；

　　 (2) $t$ 时刻的波函数 $\psi (r,t)$；

　　 (3) $t$ 时刻体系处于 $l=1,m=1$ 态的几率。

　　 [提示]利用演化算符 $$\psi (r,t)=e^{-{\frac{i}{\hslash }}^{\hat{H}t}}\psi (r,0)$$

6. (25 分)

　　 转动惯量为 $I$，电偶极距离为 $D$（常矢量）的空间转子，处在匀匀强电场 $\mathcal{E}$ 中，用微扰论求转子基态能量的二级修正。

　　 [提示] 选取外电场 $\mathcal{E}$ 的方向为球坐标的极轴方向，且注意到

　　 $$H_0=\frac{L^2}{2I},Y_{10}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta$$