厦门大学 2008 年 考研 量子力学

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1. (25 分)简述题(每小题 5 分)

　　 (1) 解释微观粒子的波粒二象性，并写出德布罗意（de Broglie）关系式。

　　 (2) 解释能级简并的概念并指出其起因。

　　 (3) 经典力学和量子力学中，守恒量的含义有何不同？

　　 (4) Clebsch-Gordan 系数（记为 $\langle j_1 m_1 j_2 m_2|j m \rangle$）不为零的条件。

　　 (5) 微扰论的适用条件是什么？在库仑场中，微扰理论为什么不适用于计算高能级（$n$ 较大）的修正？

2. (25 分)

　　 质量为 \( m \) 的粒子在外场作用下作一维运动 \((- \infty < x < \infty)\)，已知其处于束缚态 \(\varphi_1(x)\) 时，动能的平均值等于 \( E_1 \)，并已知 \(\varphi_1(x)\) 是实函数且已归一化。试求当粒子处于态 \(\varphi_2(x) = \varphi_1(x) e^{ikx}\)（\(k\) 为实数）时动量平均值及动能平均值。

3. (25 分)

　　 设已知在 \( L^2 \) 和 \( L_z \) 的共同表象中，算符 \( L_x \) 和 \( L_y \) 的矩阵分别为

　　 $$L_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\\\1 & 0 & 1 \\\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad L_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & -i & 0 \\\\i & 0 & -i \\\\0 & i & 0\end{pmatrix}.~$$

　　 (1)求 \( L_z \) 和 \( L_y \),的本征值和归一化的本征函数:

　　 (2)将矩阵 \( L_z \) 和 \( L_y \)，对角化。

4. (25 分)

　　 一电子处于自旋态 \[\chi = A\begin{pmatrix}3i \\\\4\end{pmatrix},~\] 求：

　　 (1) 归一化常数 \( A \)；

　　 (2) 自旋 \( S_x \), \( S_y \), \( S_z \) 的平均值；

　　 (3) \( S_x \), \( S_y \), \( S_z \) 的不确定度 \(\Delta_i = \sqrt{\langle (S_i^2 - \langle S_i \rangle)^2\rangle}~\)。

5. (25 分)

　　 设在 \( t=0 \) 时氢原子的波函数为 \[\psi(r, 0) = \frac{1}{3} \left( \psi_{100} + \psi_{210} + 2 \psi_{211} + \sqrt{3} \psi_{21-1} \right)~\] 式中下标是量子数 \( n, l, m \) 的值。试求：

　　 (1) 体系能量的期望值；

　　 (2) \( t \) 时刻的波函数 \( \psi(r,t) \)；

　　 (3) \( t \) 时刻体系处于 \( l=1, m=1 \) 态的几率。

　　 [提示]利用演化算符 \[\psi(r,t) = e^{-\frac{i }{\hbar}^{\hat{H}t}} \psi(r,0)~\]

6. (25 分)

　　 转动惯量为 $I$，电偶极距离为 $D$（常矢量）的空间转子，处在匀匀强电场 $\mathcal{E}$ 中，用微扰论求转子基态能量的二级修正。

　　 [提示] 选取外电场 $\mathcal{E}$ 的方向为球坐标的极轴方向，且注意到

　　 $$H_0 = \frac{L^2}{2I},Y_{10} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta~$$