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(1)什么是玻色(Bose)子和费米(Fermi)子?简要介绍玻色子和费米子的主要特性;
(2)正常塞受(Zeeman)效应及其解释:
(3)解释能级简并的概念并指出其起因:
(4)什么是跃迁选择定则?简单解释其起因.
对低速运动的一维自由粒子，指出下列推导过程中的错误所在：
由 $E = h \nu, \\ \nu = \frac{v}{\lambda}, \\ p = \frac{h}{\lambda}$ 和 $ p = mv$,
得 $E = h \frac{v}{\lambda} = \frac{h}{\lambda} v = p v = mv^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} mv^2 = 2E$.
假设质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 \[V(x) = \begin{cases} 0, & 0< x< a \\\\ \infty, & x<0,x> a. \end{cases}\text{中运动，}~\] (1)求粒子的能量本征值及相应的本征函数:
(2)若粒子在势阱中的状态由波函数 $\Psi(x)=Ax(a-x)$ 描写，$A$ 为归一化系数，求粒子能量的平均值.
粒子作一维运动时，常将 $p_x$ 简写为 $p$。设 $F(x, p)$ 是 $x, p$ 的整函数，即 $$F(x, p) = \sum_{m,n=0}^{\infty} C_{nm} x^m p^n~$$ 证明：
1. $[x, p^n] = i \hbar n p^{n-1}$；
2. $[x, F] = i \hbar \frac{\partial F}{\partial p}$。
设备系处于 $\psi = C_1 Y_{11} + C_2 Y_{20}$ 状态（$Y_{11}, Y_{20}$ 为球谐函数）， 且 $\psi$ 已归一化，即 $|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1$，求:
(1) $L_z$（轨道角动量的 $z$ 分量）的可能测值及平均值；
(2) $L^2$（轨道角动量平方）的可能测值、相应的几率及平均值；
(3) $L_x$（轨道角动量的 $x$ 分量）的可能测值。
氢原子的 “圆轨道”(指 $l=n-1$ 的态)的径向波函数 $$R_{n,n-1}(r) = C_n r^{n-1} \exp\left( -\frac{r}{na} \right)~$$ 式中 $C_n$ 为归一化常数，$a$ 为玻尔(Bohr)半径，试计算
1. 平均半径 $\langle r \rangle$；
2. 涨落 $\Delta r = \sqrt{\langle r^2 \rangle - \langle r \rangle^2}$。
设有一个定域电子，受到沿 $x$ 方向均匀磁场 $B$ 的作用，哈密顿量（不考虑轨道运动）可表示为 \[H = \frac{eB}{mc} S_x = \hbar \omega \sigma_x~\] 式中 \(\omega = \frac{eB}{2mc}\)，\(\sigma\) 为泡利 (Pauli) 矩阵，\(S\) 为电子的自旋。
设 \(t = 0\) 时电子自旋向上（\(S_z = \frac{\hbar}{2}\)），求 \(t > 0\) 时 \(S_z\) 的平均值。
考虑耦合谐振子，$H = H_0 + H'$ ，而
$$H_0 = - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \left( \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} \right) + \frac{1}{2} \mu \omega^2 \left( x_1^2 + x_2^2 \right)~$$ $$H' = -\lambda x_1 x_2 \quad (\lambda \\ \text{为常数，刻画耦合强度})~$$
(1)求出 $H_0$ 的本征值及能级简并度;
(2)在弱耦合的情况下，以第一激发态为例，用简并微扰论计算 $H'$ 对能级的影响(一级近似). [附] 谐振子的能量本征函数 $\psi(x)$ 满足 $$x \psi_n (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \left( \sqrt{n} \psi_{n-1}(x) + \sqrt{n+1} \psi_{n}(x) \right) \quad (\text{式中} \\ \alpha = \sqrt{\mu \omega / \hbar} )~$$
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