厦门大学 2006 年 考研 量子力学

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1. (20 分)简述(每小题 5 分)

　　 (1)什么是玻色(Bose)子和费米(Fermi)子?简要介绍玻色子和费米子的主要特性;

　　 (2)正常塞受(Zeeman)效应及其解释:

　　 (3)解释能级简并的概念并指出其起因:

　　 (4)什么是跃迁选择定则?简单解释其起因.

2. (10 分)

　　 对低速运动的一维自由粒子，指出下列推导过程中的错误所在：

　　 由 $$\begin{gathered} E=h\nu , \\ \nu =\frac{v}{\lambda }, \\ p=\frac{h}{\lambda } \end{gathered}$$ 和 $p=mv$,

　　 得 $E=h\frac{v}{\lambda }=\frac{h}{\lambda }v=pv=m{v}^2=2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=2E$.

3. (20 分)

　　 假设质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty },& x<0,x>a.\end{array}\text{中运动，}$$ (1)求粒子的能量本征值及相应的本征函数:

　　 (2)若粒子在势阱中的状态由波函数 $\mathrm{\Psi }(x)=Ax(a-x)$ 描写，$A$ 为归一化系数，求粒子能量的平均值.

4. (20 分)

　　 粒子作一维运动时，常将 $p_x$ 简写为 $p$。设 $F(x,p)$ 是 $x,p$ 的整函数，即 $$F(x,p)=\sum _{m,n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{nm}{x}^m{p}^n$$ 证明：

　　 1. $[x,p^n]=i\hslash n{p}^{n-1}$；

　　 2. $[x,F]=i\hslash \frac{\partial F}{\partial p}$。

5. (20 分)

　　 设备系处于 $\psi =C_1{Y}_{11}+C_2{Y}_{20}$ 状态（$Y_{11},Y_{20}$ 为球谐函数）， 且 $\psi$ 已归一化，即 $|C_1{|}^2+|C_2{|}^2=1$，求:

　　 (1) $L_z$（轨道角动量的 $z$ 分量）的可能测值及平均值；

　　 (2) $L^2$（轨道角动量平方）的可能测值、相应的几率及平均值；

　　 (3) $L_x$（轨道角动量的 $x$ 分量）的可能测值。

6. (20 分)

　　 氢原子的 “圆轨道”(指 $l=n-1$ 的态)的径向波函数 $$R_{n,n-1}(r)=C_n{r}^{n-1}\exp (-\frac{r}{na})$$ 式中 $C_n$ 为归一化常数，$a$ 为玻尔(Bohr)半径，试计算

　　 1. 平均半径 $⟨r⟩$；

　　 2. 涨落 $\mathrm{\Delta }r=\sqrt{⟨r^2⟩-⟨r{⟩}^2}$。

7. (20 分)

　　 设有一个定域电子，受到沿 $x$ 方向均匀磁场 $B$ 的作用，哈密顿量（不考虑轨道运动）可表示为 $$H=\frac{eB}{mc}{S}_x=\hslash \omega {\sigma }_x$$ 式中 $\omega =\frac{eB}{2mc}$，$\sigma$ 为泡利 (Pauli) 矩阵，$S$ 为电子的自旋。

　　 设 $t=0$ 时电子自旋向上（$S_z=\frac{\hslash }{2}$），求 $t>0$ 时 $S_z$ 的平均值。

8. (20 分)

　　 考虑耦合谐振子，$H=H_0+H^{\prime }$ ，而

　　 $$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }(\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2})+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2(x_1^2+x_2^2)$$ $$\begin{gathered} H^{\prime }=-\lambda x_1{x}_2(\lambda \\ \text{为常数，刻画耦合强度}) \end{gathered}$$

　　 (1)求出 $H_0$ 的本征值及能级简并度;

　　 (2)在弱耦合的情况下，以第一激发态为例，用简并微扰论计算 $H^{\prime }$ 对能级的影响(一级近似). [附] 谐振子的能量本征函数 $\psi (x)$ 满足 $$\begin{gathered} x{\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\alpha }}(\sqrt{n}{\psi }_{n-1}(x)+\sqrt{n+1}{\psi }_n(x))(\text{式中} \\ \alpha =\sqrt{\mu \omega /\hslash }) \end{gathered}$$