厦门大学 2005 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 简答和计算下列问题:

1. 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符?
2. 试计算 [${\hat{L}}_x,\hat{H}$]=?其中 ${\hat{L}}_x$ 为轨道角动量在 $x$ 分量，$\hat{H}$ 为中心力场的哈密顿量。
3. 设二维各向同性谐振子处于第一激发态，试写出其能级和简并度,

2. (20 分)

　　 试在 ${\hat{S}}_z$ 对角的表象中:

1. 矩阵 ${\hat{S}}_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \\ 1& 0\end{array}\right)$ 的本征值和所属的本征函数.
2. 在 ${\hat{S}}_z$ 的本征值为 $\frac{\hslash }{2}$ 的本征态中，测 ${\hat{S}}_y$ 的可能值及相应几率。

3. (20 分)

　　 用测不准关系系统地描述薛定谔方程的零点能: $$\overline{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}\cdot \overline{(\mathrm{\Delta }{p}_x{)}^2}\ge \frac{{\hslash }^2}{4},{\phi }_n(x)=N_n{e}^{-\frac{{\alpha }^2{x}^2}{2}}{H}_n(\alpha x)$$

4. (20 分)

　　 设有两个质量均为 $m$，自旋为 0 的非全同粒子，在一维无限深势阱: $$U(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0,x>a,\\ \\ 0,& 0>x>a.\end{array}$$ 中运动。两个子之间的相互作用相差量 $-g\delta (x_1-x_2)$ 可作为微扰处理 (其中 $g$ 很小，是正的常数)，试求准确到一级修正的体系的能量表达式。