厦门大学 2005 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 简答和计算下列问题:

1. 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符?
2. 试计算 [$\hat{L}_x ,\hat{H}$]=?其中 $\hat{L}_x$ 为轨道角动量在 $x$ 分量，$\hat{H}$ 为中心力场的哈密顿量。
3. 设二维各向同性谐振子处于第一激发态，试写出其能级和简并度,

2. (20 分)

　　 试在 $\hat{S}_z$ 对角的表象中:

1. 矩阵 $\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的本征值和所属的本征函数.
2. 在 $\hat{S}_z$ 的本征值为 $\frac{\hbar}{2}$ 的本征态中，测 $\hat{S}_y$ 的可能值及相应几率。

3. (20 分)

　　 用测不准关系系统地描述薛定谔方程的零点能: $$\overline{( \Delta x )^2} \cdot \overline{( \Delta p_x )^2 }\geq \frac{\hbar^2}{4}, \quad \varphi_n(x) = N_n e^{-\frac{\alpha^2 x^2}{2}} H_n(\alpha x)~$$

4. (20 分)

　　 设有两个质量均为 $m$，自旋为 0 的非全同粒子，在一维无限深势阱: \[U(x) = \begin{cases} \infty, & x<0,x>a, \\\\ 0, & 0>x>a. \end{cases}~\] 中运动。两个子之间的相互作用相差量 $- g \delta(x_1- x_2)$ 可作为微扰处理 (其中 $g$ 很小，是正的常数)，试求准确到一级修正的体系的能量表达式。