厦门大学 2002 年 考研 量子力学

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1. (20 分)回答和计算下列问题

1. 什么叫全同粒子？Pauli 原理是如何表述的？
2. 什么是简并度？一维运动的束缚态所对应的能级是不是简并？（若是简并要说明是几重简并）
3. 试计算： $$[{\hat{\overrightarrow{L}}}_z^2,x]=?$$ 其中 $\hat{\overrightarrow{L}}$ 为轨道角动量。
4. 体系的哈密顿量为： $$\hat{H}=\frac{{\hat{\overrightarrow{p}}}^2}{2\mu }+A{\hat{L}}_z,$$ 其中 ${\hat{\overrightarrow{p}}}^2$ 为动量算符的平方。 ${\hat{L}}_z$ 为角动量 $\hat{L}$ 的 $Z$ 分量。给出 $\mu ,A$ 为常数。试判断下列力学量哪些是守恒量： $${\hat{P}}_x,{\hat{P}}_y,{\hat{P}}_z,{\hat{\overrightarrow{p}}}^2,{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z{\hat{\overrightarrow{L}}}^2$$
5. 写出坐标 $Y$ 与动量 ${\hat{P}}_r$ 的测不准关系式。

2. (20 分)

　　 一个质量为 $m$ 的微观粒子在一维无限深势阱中运动

　　 $$U(x)=\{\begin{array}{ll}0& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty }& x\le 0,x\ge a\end{array}$$

　　 其本征方程为

　　 $$\hat{H}{\phi }_n(x)=E_n{\phi }_n(x),n=1,2,3,\dots$$

　　 ${\phi }_n(x)$, $E_n$ 分别为本征函数，本征值。

　　 设 $t=0$ 时粒子的初态波函数为

　　 $$\psi (0)=c_1{\phi }_1(x)+c_2{\phi }_2(x)+c_3{\phi }_3(x)+c_4{\phi }_4(x)$$

　　 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 均为常数。

　　 问

• 对 $\psi (0)$ 态，粒子的能量值，发现其值在 $\frac{3{\pi }^2{\hslash }^2}{m{a}^2}$ 以下的几率是多少？
• 对 $\psi (0)$ 态，粒子能量的平均值是多少？
• 写出任意时刻 $t$ 的波函数 $\psi (t)$ 的表达式。

3. (15 分)

　　 慢速粒子受到势能为 $$U(r)=\{\begin{array}{ll}{U}_0,& r\le a\\ \\ 0,& r>a\end{array}$$ 的场的散射，若 $E>U_0,U_0<0,$ (即势阱)，$U_0$ 为常数。试用分波法求散射截面（只考虑 $S$ 波项）

4. (15 分)

　　 (1)两个自旋为 $1/2$ 的粒子形成一个复合体系，自旋 $A$ 处于 $S_z^{\prime }=+\frac{1}{2}$ 的本征态，自旋 $B$ 处于 $S_x^{\prime }=+\frac{1}{2}$ 的本征态，求总自旋为 1 且在 $Z$ 方向投彩为 0 的测量几率。

　　 (2)试求:$\widehat{{\overrightarrow{\sigma }}_1},\widehat{{\overrightarrow{\sigma }}_2}$ 对于自旋三重态波函数 $X_t$,及自旋单态波函数 $X_s$ 的本征值。$\widehat{{\overrightarrow{\sigma }}_1},\widehat{{\overrightarrow{\sigma }}_2}$ 分别为第一个粒子和第二个粒子的 Paui 矩

5. (15 分)

　　 考虑一个无自旋的粒子, 其波函数为 $$\psi =k(x+y+2z)e^{-\alpha r}$$ 其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $k$ 和 $a$ 是实常数, 试求 ${\hat{L}}_z$ 在此态上的平均值,${\hat{L}}_z$ 为轨道角动量 $\hat{L}$ 的 $Z$ 分量。 $$\begin{gathered} Y_{1,\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{\pm i\phi }, \\ {Y}_{1,0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta \end{gathered}$$

6. (15 分)

　　 自旋为 0 的两个全同粒子在谐振子势场 $$U(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$ 中作一维运动，粒子间相互作用 $$U_{int}(x_1,x_2)=U_0{e}^{-{\beta }^2(x_1-x_2{)}^2}$$ 其中 $U_0$，$\beta$ 为实数。视 $U_{int}(x_1,x_2$)为微扰,求修正至一级的体系基态能量。 $$({\psi }_0(x)=\sqrt{\frac{\alpha }{{\pi }^{{\gamma }_r}}}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }.{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\lambda }},\lambda >0)$$