厦门大学 2001 年考研量子力学

贡献者：待更新

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1. (30 分)回答和计算下列问题

为什么表示方位量的算符必须是厄米算符？
什么是简并度？氢原子能级的简并度是多少？（不考虑电子自旋）
全同粒子体系波函数对于交换两个全同粒子具有对称性，试问：这种对称性会不会随时间改变？
电子在均匀电场 $\vec{\epsilon}=(0, \epsilon, 0)$ 中运动，单哈密顿量为： \[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + e\epsilon y ~\] 判断下列那些量是不守恒量： \[ \hat{P}_x,\ \hat{P}_y,\\ \hat{L}_x,\\ \hat{L}_y,\\ ~\]
写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
$\hat{L}_x$ 与 $\hat{L}_y$ 相互不对易，试问：它们会不会有共同本征函数？若有，写出具体函数表达式。（$\hat{L}_x,\\ \hat{L}_y$ 分别为轨道角动量在 $x, y$ 方向的分量）

2. (20 分)

　　一粒子在一维无限深方势阱中运动 \[ U(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a \\\\ \infty, & \text{其他区域} \end{cases} ~\]

试求粒子的能级和对应的归一化波函数。
若状态用波函数 $x(t) = \frac{4}{\sqrt{a}} \sin\left( \frac{\pi x}{a} \right) \cos^2\left( \frac{\pi x}{a} \right)$ 描述，求粒子能量的可能测量值及相应几率。

3. (15 分)

　　设一体系未受微扰作用时有三个不同可能级: $E_{01}, E_{02}, E_{03}$。现受微扰 $\hat{H'}$ 的作用，微扰矩阵元为: \[\hat{H'} = \begin{pmatrix}a & b & c \\\\b & a & d \\\\c & d & a\end{pmatrix}~\] 其中 $a, b, c, d$ 均为实数。试用微扰公式求修正至二级的能量值。

4. (20 分)

　　一粒子在 $xy$ 平面上，以半径 $r$ 绕 $z$ 轴运动:

求角动量 $z$ 分量 $\hat{L}_z$ 的本征值和本征函数；
该体系处于状态 $\psi = A \cos^2 \theta \phi$ 时，$\hat{L}_z$ 的可能值及相应几率；
求 $L_z$ 在此状态 $\Psi$ 下的平均值 $\bar{L}_z = ?$

5. (15 分)

　　耦合谐振子的哈密顿量为 \[\hat{H} = \frac{1}{2m}(\hat{P}_1^2 + \hat{P}_2^2) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x_1^2 + x_2^2) + \lambda x_1 x_2~\] 其中 \[\hat{P}_1 = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x_1}, \quad \hat{P}_2 = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x_2}~\] $x_1, \hat{P}_1$ 和 $x_2, \hat{P}_2$ 分属于不同的自由度，设 $\lambda < m\omega^2$，试求该耦合谐振子的能级。（可利用一维谐振子的结果）