厦门大学 2001 年 考研 量子力学

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1. (30 分)回答和计算下列问题

1. 为什么表示方位量的算符必须是厄米算符？
2. 什么是简并度？氢原子能级的简并度是多少？（不考虑电子自旋）
3. 全同粒子体系波函数对于交换两个全同粒子具有对称性，试问：这种对称性会不会随时间改变？
4. 电子在均匀电场 $\overrightarrow{ϵ}=(0,ϵ,0)$ 中运动，单哈密顿量为： $$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+eϵy$$ 判断下列那些量是不守恒量： $$\begin{gathered} {\hat{P}}_x,{\hat{P}}_y, \\ {\hat{L}}_x, \\ {\hat{L}}_y, \end{gathered}$$
5. 写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
6. ${\hat{L}}_x$ 与 ${\hat{L}}_y$ 相互不对易，试问：它们会不会有共同本征函数？若有，写出具体函数表达式。（$$\begin{gathered} {\hat{L}}_x, \\ {\hat{L}}_y \end{gathered}$$ 分别为轨道角动量在 $x,y$ 方向的分量）

2. (20 分)

　　 一粒子在一维无限深方势阱中运动 $$U(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty },& \text{其他区域}\end{array}$$

1. 试求粒子的能级和对应的归一化波函数。
2. 若状态用波函数 $x(t)=\frac{4}{\sqrt{a}}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right){\cos }^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ 描述，求粒子能量的可能测量值及相应几率。

3. (15 分)

　　 设一体系未受微扰作用时有三个不同可能级: $E_{01},E_{02},E_{03}$。现受微扰 $\widehat{H^{\prime }}$ 的作用，微扰矩阵元为: $$\widehat{H^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \\ b& a& d\\ \\ c& d& a\end{array}\right)$$ 其中 $a,b,c,d$ 均为实数。试用微扰公式求修正至二级的能量值。

4. (20 分)

　　 一粒子在 $xy$ 平面上，以半径 $r$ 绕 $z$ 轴运动:

1. 求角动量 $z$ 分量 ${\hat{L}}_z$ 的本征值和本征函数；
2. 该体系处于状态 $\psi =A{\cos }^2\theta \varphi$ 时，${\hat{L}}_z$ 的可能值及相应几率；
3. 求 $L_z$ 在此状态 $\mathrm{\Psi }$ 下的平均值 ${\overline{L}}_z=?$

5. (15 分)

　　 耦合谐振子的哈密顿量为 $$\hat{H}=\frac{1}{2m}({\hat{P}}_1^2+{\hat{P}}_2^2)+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x_1^2+x_2^2)+\lambda x_1{x}_2$$ 其中 $${\hat{P}}_1=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_1},{\hat{P}}_2=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_2}$$ $x_1,{\hat{P}}_1$ 和 $x_2,{\hat{P}}_2$ 分属于不同的自由度，设 $\lambda <m{\omega }^2$，试求该耦合谐振子的能级。（可利用一维谐振子的结果）