厦门大学 2000 年 考研 量子力学

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1. (30 分)回答和计算下列问题

1. 由费密子组成的全同粒子体系，对于交换两个费密子，体系的波函数是对称的还是反对称的？
2. 什么是简并度？一维自由粒子激发态所对应的能级是几重简并？
3. 定义 $$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$$ 试计算 $$[z,[{\hat{L}}_x,{\hat{P}}_y]]=?$$ 其中 $z,{\hat{L}}_x,{\hat{P}}_y$ 分别是坐标 $\overrightarrow{r}$ 的 $Z$ 分量、角动量 $\overrightarrow{L}$ 的 $X$ 分量、动量 $\overrightarrow{P}$ 的 $Y$ 分量。
4. 粒子在中心力场中运动，问：${\hat{P}}_z$ 是否守恒量？为什么？
5. 什么是宇称守恒？宇称算符是厄米算符吗？为什么？

2. (20 分)

　　 粒子在一维势场 $$U(x)=\{\begin{array}{ll}0,& |x|<a\\ \\ \mathrm{\infty },& |x|\ge a\end{array}$$ 中运动，如图所示：

1. 求该粒子的能级和对应的归一化波函数。
2. 设粒子处于第一激发态，试求动量算符 $P$ 在此态上的平均值。