郑州大学 2003 年 考研 量子力学
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1.在泡利矩阵 $\sigma$ 表象中，
$$\sigma_x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_z = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}~$$
求 $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\sigma_z$ 的归一化本征函数。
2.$\hat{J}$ 为角动量算符，其分量为 $\hat J_x$, $\hat J_y$ 和 $\hat J_z$，引入 $\hat J_\pm = \hat J_x + i\hat J_y$,根据角动量基本对易关系：
- (1) 证明 $[\hat J^2, \hat J_{\pm}] = 0$, $[\hat J_z, \hat J_{\pm}] = \pm \hbar \hat J_{\pm}$。
- (2) 设 $\hat J_z |j, m\rangle = m\rangle = \hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j, m\pm 1\rangle$，（其中，$|j,m\rangle$ 为 $\hat J^2$ 与 $\hat J_z$ 的共同本征态），写出 $j=1$ 时的 $\langle j, m | \hat J_z | j, m' \rangle \quad \text{及} \quad \langle j, m | \hat J_y | j, m' \rangle $ 的矩阵表示式。
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