郑州大学 2003 年 考研 量子力学

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　　 1.在泡利矩阵 $\sigma$ 表象中， $${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

　　 求 ${\sigma }_x$, ${\sigma }_y$, ${\sigma }_z$ 的归一化本征函数。

　　 2.$\hat{J}$ 为角动量算符，其分量为 ${\hat{J}}_x$, ${\hat{J}}_y$ 和 ${\hat{J}}_z$，引入 ${\hat{J}}_{\pm }={\hat{J}}_x+i{\hat{J}}_y$,根据角动量基本对易关系：

1. (1) 证明 $[{\hat{J}}^2,{\hat{J}}_{\pm }]=0$, $[{\hat{J}}_z,{\hat{J}}_{\pm }]=\pm \hslash {\hat{J}}_{\pm }$。
2. (2) 设 ${\hat{J}}_z|j,m⟩=m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$，（其中，$|j,m⟩$ 为 ${\hat{J}}^2$ 与 ${\hat{J}}_z$ 的共同本征态），写出 $j=1$ 时的 $⟨j,m|{\hat{J}}_z|j,m^{\prime }⟩\text{及}⟨j,m|{\hat{J}}_y|j,m^{\prime }⟩$ 的矩阵表示式。