狄拉克矩阵

                     

贡献者: zhousiyi

   之前的文章中我们已经介绍过,$\bar \psi\psi$ 是一个洛仑兹标量。$\bar\psi\gamma^\mu\psi$ 是一个 4-矢量。现在我们来考虑一个更广义的情形 $\bar\psi\Gamma\psi$,其中 $\Gamma$ 是任意的 $4\times 4$ 常数矩阵。现在我们的问题是,我们能不能把这个表达式分解成一些项,这些项在洛仑兹群的变换下,具有特定的变换的特性?答案是肯定的。我们可以把 $\Gamma$ 用下面这组基矢进行展开

表1:$\Gamma$ 矩阵的基矢
$1$ 1 个
$\gamma^\mu$ 4 个
$\gamma^{\mu\nu}=\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\equiv \gamma^{[\mu}\gamma^{\nu]}\equiv -i\sigma^{\mu\nu}$ 6 个
$\gamma^{\mu\nu\rho}=\gamma^{[\mu}\gamma^\nu\gamma^{\rho]}$ 4 个
$\gamma^{\mu\nu\rho\sigma}=\gamma^{[\mu}\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^{\rho]}$ 1 个
总共 16 个

习题 1 写出这样的项在洛仑兹变换下是如何变换的

\begin{align}\nonumber \bar\psi\gamma^{\mu\nu}\psi & \rightarrow(\bar\psi\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1})(\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu])(\Lambda_{\frac{1}{2}}\psi)\\ \nonumber & = \frac{1}{2} \bar\psi (\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1}\gamma^\mu\Lambda_{\frac{1}{2}}\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1}\gamma^\nu\Lambda_{\frac{1}{2}} - \Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1}\gamma^\nu\Lambda_{\frac{1}{2}}\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1}\gamma^\mu\Lambda_{\frac{1}{2}})\psi \\ & = \Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta\bar\psi\gamma^{\alpha\beta}\psi~. \end{align}

   我们再定义一个 $\gamma$ 矩阵

\begin{equation} \gamma^5\equiv i \gamma^0 \gamma^1\gamma^2\gamma^3 = -\frac{i}{4!}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma~. \end{equation}
所以 $\gamma^{\mu\nu\rho\sigma}=-i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^5$, $\gamma^{\mu\nu\rho} = -i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_\sigma\gamma^5$. $\gamma^5$ 满足的性质总结如下
\begin{align} (\gamma^5)^\dagger = \gamma^5~, \\ (\gamma^5)^2 = 1~, \\ \{\gamma^5,\gamma^\mu\}=0~. \end{align}
从最后一个式子我们可以推出
\begin{equation} [\gamma^5,S^{\mu\nu}] = 0~. \end{equation}
因此狄拉克表示一定是可约的。
\begin{equation} \gamma^5 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}~. \end{equation}
只有左手的分量的狄拉克旋量是 $\gamma^5$ 的本征值为 $-1$ 的态。而只有右手的分量的狄拉克旋量是 $\gamma^5$ 的本征值为 $1$ 的态。

   现在我们来重写我们的 $4\times 4$ 矩阵

表2:$\Gamma$ 矩阵的基矢
$1$ 标量 1 个
$\gamma^\mu$ 矢量 4 个
$\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$ 二阶张量 6 个
$\gamma^{\mu}\gamma^5 $ 赝矢量 4 个
$\gamma^{5} $ 赝标量 1 个
总共 16 个

   赝矢量和赝标量中的赝子字的意思是,这些量在洛伦兹变换下像矢量和标量一样变换,只不过变换规则前面多了一个负号。

   我们可以写下狄拉克场的两个流

\begin{equation} j^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x)~, \quad j^{\mu 5}(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\gamma^5\psi(x)~. \end{equation}
现在我们来计算这些流的散度
\begin{align}\nonumber \partial_\mu j^\mu & = (\partial_\mu \bar\psi)\gamma^\mu\psi + \bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi \\\nonumber & = (im \bar\psi) \psi + \bar\psi(-i m \psi)\\ & = 0 ~. \end{align}
因此,如果 $\psi$ 满足狄拉克方程的话,$j^\mu$ 总是守恒的。当我们把狄拉克场跟电磁场耦合起来,$j^\mu$ 就是电流密度。同样地,我们可以计算
\begin{equation} \partial_\mu j^{\mu 5} = 2 i m \bar\psi \gamma^5 \psi ~. \end{equation}
如果 $m=0$,这个流也是守恒的。因此我们可以定义下面的线性组合
\begin{equation} j^\mu_L = \bar \psi \gamma^\mu \bigg( \frac{1-\gamma^5}{2} \bigg)\psi ~, \quad j^\mu_R = \bar \psi \gamma^\mu \bigg( \frac{1+\gamma^5}{2} \bigg)\psi ~. \end{equation}
两个流 $j^\mu(x)$ 和 $j^{\mu 5}(x)$ 是对应于下面两个变换的诺特流
\begin{equation} \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha} \psi(x) ~, \quad {\rm and} \quad \psi(x)\rightarrow e^{i\alpha\gamma^5}\psi(x)~. \end{equation}
第一个是狄拉克拉式量的对称性。第二个被称为手性变换。诺特定理证明了这种 axial 的矢量流当且仅当 $m=0$ 的时候,是守恒的。

   下面一个恒等式被称为 Fierz 恒等式,非常有用

\begin{equation} (\sigma^\mu)_{\alpha\beta}(\sigma_\mu)_{\gamma\delta} = 2 \epsilon_{\alpha\gamma} \epsilon_{\beta\delta}~. \end{equation}
其中 $\alpha$ 和 $\gamma$ 在 $\psi_L$ 的洛仑兹表示下变换。$\beta$ 和 $\delta$ 在 $\psi_R$ 的表示下变换。

   另一个有用的等式如下

\begin{align}\nonumber (\bar u_{1R}\sigma^\mu u_{2R})(\bar u_{3R}\sigma_{\mu}u_{4R}) & = 2 \epsilon_{\alpha\gamma} \bar u_{1R\alpha} \bar u_{3R\gamma} \epsilon_{\beta\delta } u_{2 R \beta} u_{4 R \delta }\\ & = - (\bar u_{1R} \sigma^\mu u_{4R})(\bar u_{3R}\sigma_\mu u_{2R})~. \end{align}
同样的步骤也可以用于 $\bar\sigma^\mu$,我们有
\begin{equation} (\bar u_{1L}\bar \sigma^\mu u_{2L})(\bar u_{3L}\bar \sigma_\mu u_{4L}) = -(\bar u_{1L}\bar \sigma^\mu u_{4L} )(\bar u_{3L}\bar \sigma_\mu u_{2L})~. \end{equation}
我们可以把 Fierz 恒等式跟上面的式子结合起来,推出
\begin{equation} \epsilon_{\alpha\beta}(\sigma^\mu)_{\beta\gamma} = (\bar \sigma^{\mu T})_{\alpha \beta} \epsilon_{\beta\gamma}~. \end{equation}
另一个有用的等式是
\begin{equation} \bar \sigma^\mu \sigma_\mu = 4~. \end{equation}


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利