中国科学院大学 2020 年考研 811 量子力学

贡献者： int256

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　　 一、 （共 30 分）考虑一维束缚态。

1. 证明 $⟨\psi (x,t)\mid \psi (x,t)⟩$ 不随时间变化, 此处波函数 $\psi$ 不必是定态。
2. 证明对于定态, 动量的期望值为零。
3. 证明如果粒子在 $t=0$ 时刻处于定态, 则在以后时刻永远保持定态。

　　 二、 （共 30 分）设波函数 $\psi (x)=(1/\sqrt{2\pi })e^{ip(x+\beta )\hslash }$, 而 $\hat{x},\hat{p}$ 分别为 $x$ 方向的坐标和动量算符，其中 $\beta$ 为实常数。

1. 说明 $\psi (x)$ 是否为 $\hat{p}$ 的归一化本征态。
2. 证明 $⟨x^{\prime }|e^{i\alpha \hat{p}/\hslash }=⟨x^{\prime }+\alpha |$, 及 $e^{i\alpha \hat{p}/\hslash }|x^{\prime }⟩=|x^{\prime }-\alpha ⟩$, 其中 $\alpha$ 为实常数。
3. 化简算符 $e^{i\alpha \hat{p}/\hslash }\hat{x}{e}^{-i\alpha \hat{p}/\hslash }$。
4. 化简算符 $e^{i\alpha \hat{p}/\hslash }{\hat{x}}^2{e}^{-i\alpha \hat{p}/\hslash }$。

　　 三、（共 30 分）一个无自旋粒子的波函数为 $\psi =K(x+iy+2z)e^{-\alpha r}$，此处 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 其中 $K,\alpha$ 为实常数。（球谐函数: $Y_0^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$, $Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta$, $Y_1^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{\pm i\varphi }$）

1. 求粒子的总角动量。
2. 求角动量 $z$ 分量即 ${\hat{L}}_z$ 的期望值, 及测得 $L_z=\hslash$ 的概率。
3. 求发现粒子在 $(\theta ,\phi )$ 方向上 $\text{d}\mathrm{\Omega }$ 立体角内的概率。

　　 四、（共 30 分）

1. 一个电子在 $t=0$ 的时刻处于自旋态 $\chi =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1-2i\\ 2\end{array}\right)$。在 $t>0$ 时刻，在外界加一个磁场 $\overrightarrow{B}=B_0(\sin \theta {\hat{e}}_x+\cos \theta {\hat{e}}_z)$, 此时电子的哈密顿量为 $\hat{H}=-2{\mu }_B\hat{\overrightarrow{S}}\bullet \overrightarrow{B}$, 其中 $\hat{\overrightarrow{S}}$ 为自旋算符, ${\mu }_B$ 为玻尔磁子，求此粒子在任意 $t$ 时刻的波函数。
2. 考虑两个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子处于磁场中，此时系统的哈密顿量为 $$\hat{H}=a{\hat{\sigma }}_{1z}+b{\hat{\sigma }}_{2z}+c_0{\hat{\overline{\sigma }}}_1\bullet {\hat{\overrightarrow{\sigma }}}_2,$$ 其中 $a,b,c_0$ 为常数, $\hat{\overrightarrow{\sigma }}$ 是泡利算符，前两项为粒子处于磁场中的势能，最后 一项为两粒子自旋-自旋相互作用能。求系统的能级。

　　 五、（共 30 分）考虑谐振子问题。

1. 一维谐振子的哈密顿量为 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}k{\hat{x}}^2$， 证明由不确定性关系得到的能量最小值与该谐振子的基态能量一致。
2. 若(1)中的基态波函数是高斯型 $e^{-\beta x^2}$, 用变分法求 $\beta$。
3. 利用升、降算符写出(1)中的第一激发态的波函数（不必归一)。
4. 对于三维各向同性谐振子，第一激发态是三重简并的。现有一微扰 $${\hat{H}}^{\prime }=b\hat{x}\hat{y}=\frac{\hslash b}{2m\omega }\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$ 写出该微扰引起的第一激发态的能级分裂。