中国科学院大学 2021 年考研 811 量子力学

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　　 一、 （30 分）能量为 $ E $ 的粒子, 从负无穷远处沿着 $x$ 轴入射, 势场为 \[ V(x)=\left\{\begin{aligned}&0, & x<0 \\ &V_{0}, & 0< x< a \\ &\infty, & \quad x>a\end{aligned}\right. ~. \] 其中 $E>V_{0}>0$, 求全空间的波函数 $\psi(x)$。

　　 二、（30 分）已知 $H$ 的两个本征态为 $\left|u_{1}\right\rangle,\left|u_{2}\right\rangle$ 分别对应于能昰 $E_{1}, E_{2}$。力学量 $A$ 的本征态为 $\left|\phi_{1}\right\rangle=\frac{\left|u_{1}\right\rangle+\left|u_{2}\right|}{\sqrt{2}}$ 和 $\left|\phi_{2}\right\rangle=\frac{\left|u_{1}\right\rangle-\left|u_{2}\right\rangle}{\sqrt{2}}$, 分别对应本征值 $a_{1}, a_{2}, t=0$ 时, 粒子处于 $\left|\phi_{1}\right\rangle$ 态。求：

1. $t$ 时刻的态 $|\psi(t)\rangle$;
2. $t$ 时刻力学量 $A$ 的期望值 $\langle A\rangle(t)$。

　　 三、 对于自旋 $\frac{1}{2}$ 的体系, 已知哈密顿量 $H=S_{x}+S_{y}$。

1. 求 $H$ 的本征值和本征态;
2. 求在 (1) 问的低能级态 $\left|\psi_{-}\right\rangle$ 下测到 $S_{z}=+\frac{\hbar}{2}$ 的概率;
3. 设 $t=0$ 时体系初态为 $\left|\psi_{-}\right\rangle $。$ t>0$ 时加入 $z$ 方向磁场 $\vec{B}=(0,0, B)$, 求 $t$ 时刻粒子处于初态的概 率。

　　 四、 （30 分） 在宽度为 $ 2a $ 的一维无限深势井中存在两个粒子,忽略相互作用。

1. 求能级 $E_{n_{1}, n_{2}}$;
2. 若两粒子为自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子，求基态与第一激发态的能级简并度以及相应的波函数;
3. 若两粒子为自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子，求基态与第一激发态的能级简并度以及相应的波函数。

　　 五、 氢原子处于基态,受到脉冲电场 $$ \mathscr{E}(t)=\mathscr{E}_{0} \delta(t) ~ $$ 作用, $\mathscr{E}_{0}$ 为常数。已知波尔半径为 $a_{0}$, 矩阵元 $z_{n 1}=\iiint \psi_{n}^{*} z \psi_{1} \mathrm{dV}$。

1. 利用选择定则判断粒子会跃迁到哪些激发态上;
2. 计算越签到各个激发态的概率;
3. 计算 $ t $ 时刻粒子处于基态的概率。