复旦大学 1997 量子真题

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1. 设体系处于 $\psi = C_1 \psi_1 + C_2 \psi_2$ 态 ($\psi_1$ 和 $\psi_2$ 正交归一化，即 $\langle \psi_1 | \psi_1 \rangle = \langle \psi_2 | \psi_2 \rangle = 1$ )，求
   • a) $|C_1|^2$ 的可能测值及相应几率；（5 分）
   • b) $|C_2|^2$ 的可能测值及相应几率；（5 分）
   • c) $|C_1|^2 + |C_2|^2$ 的可能测值及相应几率。（10 分）
   (2)对于氢原子基态，计算 $\Delta X \cdot \Delta P_x$。（20 分）
   (3)在 $\psi$ 态中，求 $Y$ 的本征态。（20 分）
   (4)电子自旋计算。略去原子核，假定有如下 $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$，在 $t=0$ 时刻，电子自旋向上，并附加弱磁场 $\vec{B}_{ex} = B_1 \sin \omega t \vec{e}_x$。试用一级含时微扰证明对于：小 $ \mkern-0.25mu {\bar{\phantom{a}}} \mkern -10.2mu\lambda $，到自旋朝下态的跃迁发生在 $\omega = \omega_0$ 处。略去非谐振项，计算 $\omega = \omega_0$，处到自旋向下态的跃迁几率（20 分）

　　 (5)粒子在 Yukawa 势阱 $V(r) = -V_0 \frac{e^{-r/a}}{(r/a)}, \left( V_0 > 0, a > 0 \right)$ 中运动，用径向波函数 $R(r) = e^{-\beta r}$，求基态能量。$\beta$ 是待定参数。（20 分）(写出 $\beta$ 满足的方程) 附带用式： $L_y \psi_{lm} = \hbar \sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)} Y_{lm \pm 1}$
$\text{球坐标 } (r, \theta, \varphi):$ $\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}$