复旦大学 1997 量子真题

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1. 设体系处于 $\psi =C_1{\psi }_1+C_2{\psi }_2$ 态 (${\psi }_1$ 和 ${\psi }_2$ 正交归一化，即 $⟨{\psi }_1|{\psi }_1⟩=⟨{\psi }_2|{\psi }_2⟩=1$ )，求
   • a) $|C_1{|}^2$ 的可能测值及相应几率；（5 分）
   • b) $|C_2{|}^2$ 的可能测值及相应几率；（5 分）
   • c) $|C_1{|}^2+|C_2{|}^2$ 的可能测值及相应几率。（10 分）
   (2)对于氢原子基态，计算 $\mathrm{\Delta }X\cdot \mathrm{\Delta }{P}_x$。（20 分）
   (3)在 $\psi$ 态中，求 $Y$ 的本征态。（20 分）
   (4)电子自旋计算。略去原子核，假定有如下 $\overrightarrow{B}=B_0{\overrightarrow{e}}_z$，在 $t=0$ 时刻，电子自旋向上，并附加弱磁场 ${\overrightarrow{B}}_{ex}=B_1\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_x$。试用一级含时微扰证明对于：小 $\overline{\phantom{a}}\lambda$，到自旋朝下态的跃迁发生在 $\omega ={\omega }_0$ 处。略去非谐振项，计算 $\omega ={\omega }_0$，处到自旋向下态的跃迁几率（20 分）

　　 (5)粒子在 Yukawa 势阱 $V(r)=-V_0\frac{e^{-r/a}}{(r/a)},(V_0>0,a>0)$ 中运动，用径向波函数 $R(r)=e^{-\beta r}$，求基态能量。$\beta$ 是待定参数。（20 分）(写出 $\beta$ 满足的方程) 附带用式： $L_y{\psi }_{lm}=\hslash \sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)}{Y}_{lm\pm 1}$
$\text{球坐标 }(r,\theta ,\phi ):$ ${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$