托马斯进动

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 洛伦兹群

   当两个洛伦兹平动复合的时候,其结果通常不是一个洛伦兹平动,而是一个平动加上一个转动。

   从物理直觉上来说,考虑三个参考系 K1K2K3。每个参考系都架设三把标尺,彼此垂直,各标尺分别测量相应参考系里的 xyz 坐标。令 K2 以速度 v 相对 K1 运动,同时保证在 K1K2 看来,双方对应的标尺都相互平行;再令 K3 以速度 w 相对 K2 运动,同时保证在 K2K3 看来,双方对应的标尺都相互平行,那么这个时候 K3 的标尺还和 K1 的标尺对应平行吗?

   答案是否定的。这是因为尺缩效应只发生在沿着参考系相对速度的方向,而垂直于相对速度的方向不会发生尺缩效应。粗略的解释如图 1 所示,K3 的标尺相对于 K1 的标尺不再平行,而是转动了一个角度。

图
图 1:托马斯进动的示意图。左图表示 K3 眼中自己的一根标尺,它是物理存在;垂直的线段表示这个标尺,下面的长箭头表示 K3 相对 K1 的运动方向,而上面的短箭头表示垂直于该运动的方向。在 K1 看来,沿着运动方向发生了尺缩效应,下面的箭头变短,而垂直运动方向的箭头没有变短,结果就是标尺的长度缩短,并且其方向转动了一个角度。

   这种纯粹由于相对运动而产生的标尺旋转,被称为托马斯进动(Thomas Precession),由 Llewellyn Thomas 于 1914 年提出。电子的磁矩变化、傅科摆的运动修正,都需要考虑到托马斯进动的影响。

1. 推导

   出于方便和实用性的考量,我们研究的是一个系统加速运动中的指向变化1。这里的系统可以是一个电子,也可以是一套傅科摆,指向则可以是任意指定的。以下为了方便表述,我们用一个电子的运动来说明。

   设电子在实验室中以速度 v=(v,0,0)T 运动,同时具有一个加速度 a=(ax,ay,0)。记实验室参考系为 K1,以速度 v 运动的参考系为 K2,而以速度 v+adt 运动的参考系为 K3。这里 dt 是一段极短的时间,而 v+adt 是电子在 dt 时刻后的速度。记 a=|a|=ax2+ay2

   以上设定中尽管限制了 vK1 参考系的 x 轴上、axy 平面上,但是并不失一般性,而且方便计算。这样,K1K2 的洛伦兹过渡矩阵就是

(1)L12=(11v2v1v200v1v211v20000100001) .

   而 K2K3 的过渡矩阵是

(2)L23=(11(adt)2axdt1(adt)2aydt1(adt)20axdt1(adt)21+(11(adt)21)(axdt)2(adt)2(11(adt)21)axdtaydt(adt)20aydt1(adt)2(11(adt)21)axdtaydt(adt)21+(11(adt)21)(aydt)2(adt)20001) .

   那么 K1K3 的过渡矩阵就是这两个矩阵的复合(注意它们相乘的方向,并且忽略掉 dt 大于一阶的项):

(3)L13=L23L12=(11v2v1v2aydt0v1v211v200aydtvaydt100001) .

   这个变换就不是一个平动,而是一个平动和一个转动的复合。

   如果记 L31 是从 K3 直接平动回到 K1 的洛伦兹过渡矩阵2,那么我们有

(4)L13L31=(100001(11v21)aydtv00(111v2)aydtv100001)=R ,

   这是一个 xy 平面内的转动。也就是说,当粒子有了一个 y 方向的加速度的时候,其参考系指向会变化。

   R 的含义是,在 dt 内,这个指向在 xy 平面上顺时针转动了 arcsin(11v21)aydtv 的角度,由于该角度很小,因此由 limθ0sinθθ=1 可知,这个转动角度也可以写为 dΩ=(11v21)aydtv

   整理以上结果,我们可以得到,当电子以速度 v 运动且有加速度 a 时,其坐标系指向按角速度 ω 偏转,其中 ω=dΩdt=(11v21)a×vv2

   当 v 也很小,以至于 11v21+12v2 时,这个角速度还可以近似为 a×v2


1. ^ 推导思路完全参考自 Goldstein 的 Classical Mechanics [1]
2. ^ 就是说,直接从 K3 变换回 K1,保持双方的标尺平行。该矩阵的具体形式此处省略了。


[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed

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