贡献者: JierPeter
当两个洛伦兹平动复合的时候,其结果通常不是一个洛伦兹平动,而是一个平动加上一个转动。
从物理直觉上来说,考虑三个参考系 , 和 。每个参考系都架设三把标尺,彼此垂直,各标尺分别测量相应参考系里的 , 和 坐标。令 以速度 相对 运动,同时保证在 和 看来,双方对应的标尺都相互平行;再令 以速度 相对 运动,同时保证在 和 看来,双方对应的标尺都相互平行,那么这个时候 的标尺还和 的标尺对应平行吗?
答案是否定的。这是因为尺缩效应只发生在沿着参考系相对速度的方向,而垂直于相对速度的方向不会发生尺缩效应。粗略的解释如图 1 所示, 的标尺相对于 的标尺不再平行,而是转动了一个角度。
图 1:托马斯进动的示意图。左图表示 眼中自己的一根标尺,它是物理存在;垂直的线段表示这个标尺,下面的长箭头表示 相对 的运动方向,而上面的短箭头表示垂直于该运动的方向。在 看来,沿着运动方向发生了尺缩效应,下面的箭头变短,而垂直运动方向的箭头没有变短,结果就是标尺的长度缩短,并且其方向转动了一个角度。
这种纯粹由于相对运动而产生的标尺旋转,被称为托马斯进动(Thomas Precession),由 Llewellyn Thomas 于 1914 年提出。电子的磁矩变化、傅科摆的运动修正,都需要考虑到托马斯进动的影响。
1. 推导
出于方便和实用性的考量,我们研究的是一个系统加速运动中的指向变化1。这里的系统可以是一个电子,也可以是一套傅科摆,指向则可以是任意指定的。以下为了方便表述,我们用一个电子的运动来说明。
设电子在实验室中以速度 运动,同时具有一个加速度 。记实验室参考系为 ,以速度 运动的参考系为 ,而以速度 运动的参考系为 。这里 是一段极短的时间,而 是电子在 时刻后的速度。记 。
以上设定中尽管限制了 在 参考系的 轴上、 在 平面上,但是并不失一般性,而且方便计算。这样, 到 的洛伦兹过渡矩阵就是
而 到 的过渡矩阵是
那么 到 的过渡矩阵就是这两个矩阵的复合(注意它们相乘的方向,并且忽略掉 大于一阶的项):
这个变换就不是一个平动,而是一个平动和一个转动的复合。
如果记 是从 直接平动回到 的洛伦兹过渡矩阵2,那么我们有
这是一个 平面内的转动。也就是说,当粒子有了一个 方向的加速度的时候,其参考系指向会变化。
的含义是,在 内,这个指向在 平面上顺时针转动了 的角度,由于该角度很小,因此由 可知,这个转动角度也可以写为 。
整理以上结果,我们可以得到,当电子以速度 运动且有加速度 时,其坐标系指向按角速度 偏转,其中 。
当 也很小,以至于 时,这个角速度还可以近似为 。
1. ^ 推导思路完全参考自 Goldstein 的 Classical Mechanics [1]。
2. ^ 就是说,直接从 变换回 ,保持双方的标尺平行。该矩阵的具体形式此处省略了。
[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed
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