托马斯进动

             

预备知识 洛伦兹群

   当两个洛伦兹平动复合的时候,其结果通常不是一个洛伦兹平动,而是一个平动加上一个转动.

   从物理直觉上来说,考虑三个参考系 $K_1$,$K_2$ 和 $K_3$.每个参考系都架设三把标尺,彼此垂直,各标尺分别测量相应参考系里的 $x$,$y$ 和 $z$ 坐标.令 $K_2$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相对 $K_1$ 运动,同时保证在 $K_1$ 和 $K_2$ 看来,双方对应的标尺都相互平行;再令 $K_3$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 相对 $K_2$ 运动,同时保证在 $K_2$ 和 $K_3$ 看来,双方对应的标尺都相互平行,那么这个时候 $K_3$ 的标尺还和 $K_1$ 的标尺对应平行吗?

   答案是否定的.这是因为尺缩效应只发生在沿着参考系相对速度的方向,而垂直于相对速度的方向不会发生尺缩效应.粗略的解释如图 1 所示,$K_3$ 的标尺相对于 $K_1$ 的标尺不再平行,而是转动了一个角度.

图
图 1:托马斯进动的示意图.左图表示 $K_3$ 眼中自己的一根标尺,它是物理存在;垂直的线段表示这个标尺,下面的长箭头表示 $K_3$ 相对 $K_1$ 的运动方向,而上面的短箭头表示垂直于该运动的方向.在 $K_1$ 看来,沿着运动方向发生了尺缩效应,下面的箭头变短,而垂直运动方向的箭头没有变短,结果就是标尺的长度缩短,并且其方向转动了一个角度.

   这种纯粹由于相对运动而产生的标尺旋转,被称为托马斯进动(Thomas Precession),由 Llewellyn Thomas 于 1914 年提出.电子的磁矩变化、傅科摆的运动修正,都需要考虑到托马斯进动的影响.

1. 推导

   出于方便和实用性的考量,我们研究的是一个系统加速运动中的指向变化.这里的系统可以是一个电子,也可以是一套傅科摆,指向则可以是任意指定的.以下为了方便表述,我们用一个电子的运动来说明.

   设电子在实验室中以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(v, 0, 0) ^{\mathrm{T}} $ 运动,同时具有一个加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} =(a_x, a_y, 0)$.记实验室参考系为 $K_1$,以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动的参考系为 $K_2$,而以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} $ 运动的参考系为 $K_3$.这里 $ \,\mathrm{d}{t} $ 是一段极短的时间,而 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} $ 是电子在 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时刻后的速度.记 $a= \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} \right\rvert =\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

   以上设定中尽管限制了 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在 $K_1$ 参考系的 $x$ 轴上、$ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 在 $x-y$ 平面上,但是并不失一般性,而且方便计算.这样,$K_1$ 到 $K_2$ 的洛伦兹过渡矩阵就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-2}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\\frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{equation}

   而 $K_2$ 到 $K_3$ 的过渡矩阵是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{2-3}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&-\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&-\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&0\\ -\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&1+(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{(a_x \,\mathrm{d}{t} )^2}{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}&(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} a_y \,\mathrm{d}{t} }{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}&0\\ -\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} a_y \,\mathrm{d}{t} }{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}&1+(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{(a_y \,\mathrm{d}{t} )^2}{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{equation}

   那么 $K_1$ 到 $K_3$ 的过渡矩阵就是这两个矩阵的复合(注意它们相乘的方向,并且忽略掉 $ \,\mathrm{d}{t} $ 大于一阶的项):

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-3}&= \boldsymbol{\mathbf{L}} _{2-3} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-2}\\&= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}&a_y \,\mathrm{d}{t} &0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\ -a_y \,\mathrm{d}{t} &va_y \,\mathrm{d}{t} &1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}

   这个变换就不是一个平动,而是一个平动和一个转动的复合.

   如果记 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _{3-1}$ 是从 $K_3$ 直接平动回到 $K_1$ 的洛伦兹过渡矩阵1,那么我们有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-3} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{3-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}&0\\ 0&(1-\frac{1}{\sqrt{1-v^2}})\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}

   这是一个 $x-y$ 平面内的转动.也就是说,当粒子有了一个 $y$ 方向的加速度的时候,其参考系指向会变化.

   $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的含义是,在 $ \,\mathrm{d}{t} $ 内,这个指向在 $x-y$ 平面上顺时针转动了 $\arcsin{(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}}$ 的角度,由于该角度很小,因此由 $\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ 可知,这个转动角度也可以写为 $ \,\mathrm{d}{\Omega} =(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}$.

   整理以上结果,我们可以得到,当电子以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动且有加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 时,其坐标系指向按角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 偏转,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} =\frac{ \,\mathrm{d}{\Omega} }{ \,\mathrm{d}{t} }=(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{ \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}$.

   当 $v$ 也很小,以至于 $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\approx 1+\frac{1}{2}v^2$ 时,这个角速度还可以近似为 $\frac{ \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} }{2}$.


1. ^ 就是说,直接从 $K_3$ 变换回 $K_1$,保持双方的标尺平行.该矩阵的具体形式此处省略了.

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