贡献者： 零穹
[1] 协变性和不变性是相对论中会遇到的术语，本节给出它们具体的定义。
1. 概念的引入
物理定律经常被表达为一个矢量等于另一个矢量，例如，Newton 定律
\begin{equation}
m \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} .~
\end{equation}
若换一参考系（重选基底），它和原参考系（或坐标系）由坐标变换相联系。设 $R$ 是这两参考系下矢量的变换矩阵，即若 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是旧参考系下表达的矢量，则新参考系下表达的该矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '$ 和旧参考系下的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 关系为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '=R \boldsymbol{\mathbf{x}} $。将 $R$ 作用于 Newton 定律，就有
\begin{equation}
mR \boldsymbol{\mathbf{a}} =R \boldsymbol{\mathbf{F}} .~
\end{equation}
由于加速度是矢量，因此新参考系下的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} '=R \boldsymbol{\mathbf{a}} $。假设 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 像一个矢量一样变换（虽然这里对力使用了矢量相同的符号，但是力的定义并不清晰，因此在不同坐标变换下不一定是一个矢量），那么新坐标下 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '=R \boldsymbol{\mathbf{F}} $。于是在新坐标系下，就有
\begin{equation}
m \boldsymbol{\mathbf{a}} '= \boldsymbol{\mathbf{F}} '.~
\end{equation}
即两坐标系下的牛顿定理具有相同的形式。应该注意的是，质量是标量的例子，即在坐标变换下不变。如果改变的话，那么 Newton 定律在坐标变换下就不是不变的了，从而导致某个参考系比另一个更可取，这是不可接受的，物理学应当建立在平等的思想上（可视为某种假设）。
Newton 定律是协变的，是指方程的两边在坐标变换下按照同一变换方式变换，即若左边的量 $x$ 在新坐标系下为 $x'f(x)$（映射 $f$ 由新旧坐标系确定），那么右边的量 $y$ 在新坐标系下由 $y'=f(y)$ 确定。然而，由 Newton 定律表达的物理是不变的，即独立于通过坐标变换联系的参考系。若物理依赖于你如何偏头，那么就相当的麻烦了。物理不应该取决于物理学家，但物理学家具有使用不同方式表达物理的自由。
2. 定义
每一物理学都具有一些最基本的物理定律，对应的物理学是这些基本定律下逻辑推演。物理定律在数学上表达为方程的形式，对应基本物理定律的方程称为基本方程。注意基本定律是那些不依赖于参考系选择的定律，即若基本定律表达的是物理量 $x,y$ 的关系 $y=f(x)$，在任一参考系下测得的物理量 $x,y$ 为 $x_1,y_1$，则恒有 $y_1=f(x_1)$。
定义 1 协变性、不变性
设 $x=(x_1,\ldots,x_m),y=(y_1,\ldots,y_n)$ 是某一物理学的基本物理量，
\begin{equation}
y=f(x)~
\end{equation}
是该物理学的基本方程。记 $x_1,y_1$ 是一参考系下对应的物理量 $x,y$ , $x_2,y_2$ 是另一参考系下对应的物理量 $x,y$，设 $R$ 是从前一参考系到后一参考系之间的变换，使得基本方程左边的物理量满足 $y_2=R(y_1)$。若基本方程右边的物理量在两参考系下仍有关系 $x_2=R(x_1)$，即成立
\begin{equation}
y_2=f(x_2),\quad R(f(x_1))=f(R(x_1)).~
\end{equation}
则称基本方程 $y=f(x)$ 是
协变的（covariant），而变换 $R$ 称为（在该物理学下）是
物理对称的 (symmetry of physics)，并称在变换 $R$ 下物理是
不变的（invariant）。
值得注意的是 $y=f(x)$ 可写为 $g(x,y):=y-f(x)=0$。因此协变性相当于 $g(R(x),R(y))=0$，即在坐标系变换下，$0$ 不会转变为非 0。
例 1
若某一物理学的基本方程是关于矢量之间的方程，即具有形式 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $，记 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} $，且坐标系变换是对应矢量空间的线性变换 $R$，那么不变性就恰好表达了明显的数学事实：若 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} =0$，则 $R( \boldsymbol{\mathbf{w}} )=0$。（严格来说，这里的 0 应写为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $）。
[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。