TT 规范

             

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   在源的外面,我们有 $T_{\mu\nu} = 0$,所以我们有如下方程

\begin{equation} \Box \bar h_{\mu\nu} = 0 ~. \end{equation}
其中 $\Box = - (1/c^2) \partial_0^2 +\nabla^2$. 这个方程说明了引力波以光速传播.因为式 18 没有完全确定规范,在没有源的地方我们能够极大地固定规范.

   如果 $\Box \xi_\mu = 0$,那么变换 $x^\mu \rightarrow x^\mu+\xi^\mu$ 保持 $\partial^\nu \bar h_{\mu\nu}$ 不变.从 $\Box \xi_\mu = 0$ 可以推出

\begin{equation} \Box \xi_{\mu\nu} = 0~, \quad \xi_{\mu\nu} \equiv \partial_{\mu} \xi_\nu +\partial_\nu \xi_\mu - \eta_{\mu\nu} \partial_\rho\xi^\rho~. \end{equation}
我们可以使用 TT 规范
\begin{equation} h^{0\mu} = 0~, \quad h^i_i = 0~, \quad \partial^j j_{ij} = 0~. \end{equation}
加上洛伦兹条件把十个自由度的对称矩阵 $h_{\mu\nu}$ 变为六个自由度.剩余的四个满足 $\Box \xi_\mu = 0$ 的 $\xi^\mu$ 把它降到了两个自由度.我们把 TT 规范下的度规记作 $h_{ij}^{TT}$.

   注意,TT 规范在含有源的时候是不能取的,这是因为 $\Box \bar h_{\mu\nu} \neq 0$. 式 1 有如下的平面波解

\begin{equation} h_{ij}^{TT} (x) = e_{ij} (\mathbf k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} ~. \end{equation}
其中 $k^\mu = (\omega/c,\mathbf k)$, $\omega/c = |\mathbf k|$.$e_{ij}(\mathbf k)$ 被称作极化张量.沿着 z 方向前进的度规张量是
\begin{equation} h_{ij}^{TT} (t,z) = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times & 0 \\ h_\times & - h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cos [\omega (t - z/c)]~. \end{equation}
更简要地,我们可以写成
\begin{equation} h_{ab}^{TT} (t,z) = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times \\ h_\times & - h_+ \end{pmatrix} \cos [\omega (t - z/c)]~. \end{equation}
其中 $a,b = 1,2$. 代入到度规中,我们可以写成
\begin{equation} \begin{aligned} ds^2 & = - c^2 dt^2 + dz^2 + \{ 1+ h_+ \cos [\omega(t-z/c)] \} dx^2 \\ & + \{ 1-h_+ \cos [\omega(t-z/c)] \} dy^2 + 2 h_\times \cos[\omega(t-z/c)] dx dy~. \end{aligned} \end{equation}
给定一个在源外面朝着 $\hat{\bf{n}}$ 方向传播的平面波解 $h_{\mu\nu}(x)$.假设我们已经加入了洛伦兹规范但还没有加上 TT 规范,我们可以通过如下步骤找到 TT 规范下的波.

   首先,我们引入如下的张量

\begin{equation} P_{ij} (\hat{\bf{n}} ) = \delta_{ij} - n_in_j~. \end{equation}
这个张量是对称,横向的($ n^iP_{ij}(\hat{\bf{n}}) = 0 $),是一个投影($ P_{ik} P_{kj} = P_{ij}$),它的迹是 $P_{ii} = 2$.使用上面定义的 $P_{ij}$, 我们可以构建如下的投影算符
\begin{equation} \Lambda_{ij,kl} ( \hat{\bf{n}} ) = P_{ik} P_{jl} - \frac{1}{2} P_{ij} P_{kl} ~. \end{equation}
这个投影算符仍然是一个投影,因为
\begin{equation} \Lambda_{ij,kl} \Lambda_{kl,mn} = \Lambda_{ij,mn} ~. \end{equation}
并且它对于所有的指标都是横向的 $ n^i \Lambda_{ij,kl} = 0 $, $ n^j \Lambda_{ij,kl} = 0 $, 它对于 $(i,j)$ 和 $(k,l)$ 指标是无迹的
\begin{equation} \Lambda_{ii,kl} = \Lambda_{ij,kk} = 0 ~. \end{equation}
给定引力波的传播方向,我们可以写出 $\Lambda_{ij,kl} (\hat{ {\bf n} })$ 的显性表达式
\begin{equation} \begin{aligned} \Lambda_{ij,kl} (\hat{ {\bf n} } ) & = \delta_{ik} \delta_{jl} - \frac{1}{2} \delta_{ij} \delta_{kl} - n_j n_l \delta_{ik} - n_i n_k \delta_{jl} \\ & + \frac{1}{2} n_k n_l \delta_{ij} + \frac{1}{2} n_i n_j \delta_{kl} + \frac{1}{2} n_i n_j n_k n_l ~. \end{aligned} \end{equation}
我们把这个张量叫做 Lambda 张量.给定一个在洛伦兹规范下,但是还不在 TT 规范下的平面波 $h_{\mu\nu}$,我们可以写出 TT 规范下的平面波如下.
\begin{equation} h_{ij}^{TT} = \Lambda_{ij,kl} h_{kl} ~. \end{equation}
从等式右边可以看出,它对于 $(i,j)$ 指标是横向,无迹的.从 $h_{\mu\nu}$ 是真空中波动方程的一个解和它在洛伦兹规范下可以看出 $\Box h_{ij}^{TT} = 0$.

   给定任意的对称张量 $S_{ij}$,我们定义它的横向无迹部分为

\begin{equation} S^{TT}_{ij} = \Lambda_{ij,kl} S_{kl} ~. \end{equation}
注意到 $S^{TT}_{ij}$ 仍然是对称的.

   在 TT 规范下,$h^{TT}_{ij}$ 可以做如下展开

\begin{equation} h^{TT}_{ij}(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} (\mathcal A_{ij}(\mathbf k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} + \mathcal A_{ij}^* (\mathbf k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} ) ~. \end{equation}
其中 $k^\mu = (\omega/c,\mathbf k)$. $|\mathbf k| = \omega/c = (2\pi f)/c$ 因此 $d^3 k = |\mathbf k|^2 d|\mathbf k| d\Omega = (2\pi/c)^3 f^2 df d\Omega $. 另外 $d^2\hat{\bf{n}} = d\cos\theta d\phi$,所以上述方程读作.
\begin{equation} h^{TT}_{ij}(x) = \frac{1}{c^3} \int^\infty_0 df f^2 \int d^2 \hat{ \bf{n} } ( \mathcal A_{ij} (f,\hat{ \bf{n} }) \mathrm{e} ^{-2\pi \mathrm{i} f(t-\hat{ {\bf n} } \cdot {\bf x} /c )} + {c.c} ) \end{equation}
注意到在这个表达式里面,只有物理的频率 $f > 0$ 进入了展开式.TT 规范条件给出了 $\mathcal A^i_i (\mathbf k) =0 $ 以及 $k^i \mathcal A_{ij} (\mathbf k) =0 $. 需要注意的是,如果波是由往不同方向传播的波叠加组成的,$h_{ij}(x)$ 就不能约化到 $2\times 2$ 的矩阵.这一点在我们考虑引力波的随机背景的时候会非常重要.然而,当我们在地球上观测到从单个天体辐射出来的引力波的时候,波的传播方向还是很确定的,我们可以写出如下表达式
\begin{equation} \mathcal A_{ij} (\mathbf k) = A_{ij} (f) \delta^{(2)} (\hat{ \mathbf n } - \hat{ {\bf n} }_0 )~. \end{equation}
现在我们只关注垂直于引力波运动方向的那个平面并且把平面的坐标记作 $a,b = 1,2$ 并且省略掉 TT 这两个字,于是我们有
\begin{equation} h_{ab} (t,\mathbf x ) = \int^\infty_0 df ( \tilde f_{ab} (f,\mathbf x) \mathrm{e} ^{-2\pi \mathrm{i} f t} + \tilde h^*_{ab} (f,\mathbf x) \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} f t} ) ~. \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} \tilde h_{ab} (f,\mathbf x) & = \frac{f^2}{c^3} \int d^2 \hat{ \mathbf n } \mathcal A_{ab} (f, \hat{\mathbf{n}}) \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} f \hat{ \mathbf n } \cdot \mathbf x / c } \\ & = \frac{f^2}{c^3} A_{ab} (f) \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} f {\hat{\mathbf n}_0 \cdot \mathbf x /c } }~. \end{aligned} \end{equation}
对于地面上的实验仪器来说,探测器的长度一般是小于 ${\mkern0.7mu {\bar{\phantom{a}}} \mkern -11mu\lambda} = \lambda/(2\pi)$ 的.如果我们把坐标系的原点取在探测器的中央,我们就有 $\exp \{ 2\pi i f \hat{ \mathbf n } \cdot \mathbf x/c \} = \exp \{ i \hat{ {\bf n} } \cdot \mathbf x / {\mkern0.75mu {\bar{\phantom{a}}} \mkern -11.75mu\lambda} \} \simeq 1 $.如果我们对探测器那个位置的引力波感兴趣,我们就可以忽略所有的 $\mathbf x$ 的依赖
\begin{equation} h_{ab} (t) = \int^\infty_0 df ( \tilde h_{ab} (f) \mathrm{e} ^{-2\pi \mathrm{i} f t} + \tilde h^*_{ab} (f) \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} f t} ) ~, \end{equation}
其中 $\tilde h_{ab}(f) = \tilde h_{ab}(f,\mathbf x = 0)$. 当然,当我们考虑两个不同的探测器的引力波信号的时候,或者说当我们需要 $h_{ab}(t,\mathbf x)$ 的空间导数的时候,我们还是需要保留 $\mathbf x$ 的.从式 6 出发,我们可以得到
\begin{equation} \tilde h_{ab} (f) = \begin{pmatrix} \tilde h_+(f) & \tilde h_{\times} (f) \\ \tilde h_{\times} (f) & -\tilde h_+ (f) ~. \end{pmatrix} \end{equation}
$+$ 和 $\times$ 都是依据选取的波传播的方向所确定的垂直平面确定的.如果我们把这个系统旋转 $\psi$ 角度,那么 $h_+$ 和 $h_{\times}$ 将按照如下规则变换
\begin{equation} \begin{aligned} h_+\rightarrow h_+ \cos 2 \psi - h_\times \sin 2 \psi ~, \\ h_\times \rightarrow h_+ \sin 2 \psi + h_\times \cos 2\psi ~. \end{aligned} \end{equation}
现在我们可以换一种形式写出式 20 .首先定义
\begin{equation} \tilde h_{ab} (-f,\mathbf x) = \tilde h^*_{ab} (f,\mathbf x) ~, \end{equation}
现在式 20 变成了
\begin{equation} h_{ab} (t) = \int_{-\infty}^{\infty} df \tilde h_{ab} (f) \mathrm{e} ^{-2\pi \mathrm{i} f t}~. \end{equation}
平面波的另外一种展开式是通过引入极化张量 $ \mathrm{e} ^A_{ij}(\hat{ {\mathbf n} })$($A = +,\times$)来表示的.
\begin{equation} \mathrm{e} ^+_{ij} (\hat{ {\mathbf n} }) = \hat{{\mathbf u} }_i \hat{{\mathbf u} }_j - \hat{{\mathbf v} }_i \hat{{\mathbf v} }_j~, \quad \mathrm{e} ^\times_{ij} (\hat{ {\mathbf n} }) = \hat{{\mathbf u} }_i \hat{{\mathbf v} }_j - \hat{{\mathbf v} }_i \hat{{\mathbf u} }_j ~. \end{equation}
$\hat{ {\mathbf u} }$ 和 $\hat{ {\mathbf v} }$ 是垂直于传播方向 $\hat{ {\mathbf n} }$ 的单位矢量.在这个定义下,极化张量按照如下定义归一化
\begin{equation} \mathrm{e} ^A_{ij}(\hat{ {\mathbf n} }) \mathrm{e} ^{A',ij} (\hat{ {\mathbf n} }) = 2 \delta^{AA'} ~. \end{equation}
选取 $z$ 为 $\hat{ \mathbf n }$ 方向,另外 $\hat{ \mathbf u }=\mathbf x$, $\hat{ \mathbf v } = \hat{ \mathbf y }$.所以
\begin{equation} \mathrm{e} ^+_{ab} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}_{ab}~, \quad \mathrm{e} ^\times_{ab} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}_{ab}~. \end{equation}
其中 $a,b = 1,2$ 是 $(x,y)$ 平面.我们按照如下的式子定义 $\tilde h_A(f,\hat{ {\mathbf n} })$ 的振幅
\begin{equation} \frac{f^2}{c^3} \mathcal A_{ij} (f,\hat{ \mathbf n }) = \sum_{A = +,\times} \tilde h_{A} (f, \hat{ {\mathbf n} } ) \mathrm{e} ^A_{ij} (\hat{ {\mathbf n} } )~. \end{equation}
式 16 可以化简为
\begin{equation} h_{ab}(t,\mathbf x) = \sum_{A = +,\times} \int_{-\infty}^{\infty} df \int d^2 \hat{\mathbf n } \tilde h_A (f, \hat{ n } ) \mathrm{e} ^A_{ab} ( \hat{ \mathbf n } ) \mathrm{e} ^{-2 \pi i f (t - \hat{ \mathbf n }\cdot {\mathbf x}/c )}~, \end{equation}
在上述式子中我们再一次使用了 $\tilde h_A (-f, \hat{ \mathbf n } ) = \tilde h_A^* (f, \hat{ \mathbf n }) $ 这个关系式.

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