引力波的几何描述

             

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   引力的作用量分为爱因斯坦作用量和物质的作用量 $S=S_E+S_M$ 其中

\begin{equation} S_E = \frac{c^3}{16\pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} R~. \end{equation}
能量动量张量的定义如下
\begin{equation} \delta S_M = \frac{1}{2 c} \int d^4 x \sqrt{-g} T^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} ~. \end{equation}
对作用量求变分,我们得到了如下的爱因斯坦方程
\begin{equation} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ~. \end{equation}
广义相对论在很大的对称群下都是不变的,比如下面的坐标变换
\begin{equation} x^\mu \rightarrow x'^\mu (x) ~. \end{equation}
在上面的坐标变换下,度规按照如下规则变换
\begin{equation} g_{\mu\nu} (x) \rightarrow g'_{\mu\nu} = \frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu} g_{\rho\sigma} (x) ~. \end{equation}
我们把这种对称性叫做广义相对论的规范对称性.现在我们把度规按照如下的方式展开
\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}~, \quad |h_{\mu\nu}| \ll 1 ~. \end{equation}
考虑如下的平移坐标变换
\begin{equation} x^\mu \rightarrow x'^\mu = x^\mu + \xi^\mu (x) ~. \end{equation}
在这样的坐标变换下,$h_{\mu\nu}$ 按照如下规则变换
\begin{equation} h_{\mu\nu} (x) \rightarrow h'_{\mu\nu} (x) - (\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu \xi_\mu) ~. \end{equation}
现在考虑如下的洛伦兹变换
\begin{equation} x^\mu \rightarrow \Lambda^\mu_\nu x^\nu ~. \end{equation}
矩阵 $\Lambda^\mu_\nu$ 满足
\begin{equation} \Lambda^\rho_\mu\Lambda^\sigma_\nu \eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu} ~. \end{equation}
在洛伦兹变换下,矩阵 $g_{\mu\nu}$ 的变换如下
\begin{equation} \begin{aligned} g_{\mu\nu} \rightarrow g'_{\mu\nu} (x') & = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\mu g_{\rho\sigma} (x) \\ & = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu [\eta_{\rho\sigma} + h_{\rho\sigma}(x)] \\ & = \eta_{\mu\nu} + \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu h_{\rho\sigma} (x) ~. \end{aligned} \end{equation}
因此,在洛伦兹变换下,$h_{\mu\nu}$ 的变换规则如下
\begin{equation} h_{\mu\nu}'(x) = \Lambda^\rho_\mu\Lambda^\sigma_\nu h_{\rho\sigma} (x) ~. \end{equation}
这说明 $h_{\mu\nu}$ 在洛伦兹变换下是张量.转动变换无论如何不会破坏 $|h_{\mu\nu}|\ll 1$ 这个条件.但是对于 boost 我们必须只做总是使得 $h_{\mu\nu}\ll 1$ 能够满足的 boost 的变换.这样的理论叫做线性理论. 另外,值得注意的有以下几点

   与此形成鲜明对比的是,广义相对论没有庞加莱对称性.这是因为在广义相对论的框架下,平坦空间并没有什么特殊性,而庞加莱对称群是平坦空间里面的对称群.但是,广义相对论拥有全部的坐标变换的不变性,而不仅仅是无穷小的坐标变换的不变性. 在线性阶,黎曼张量是

\begin{equation} R_{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{1}{2} (\partial_\nu\partial_\rho h_{\mu\sigma} + \partial_\mu\partial_\sigma h_{\nu\rho} - \partial_\mu\partial_\rho h_{\nu\sigma} - \partial_\nu\partial_\sigma h_{\mu\rho} ) ~. \end{equation}
在我们感兴趣的物理情形下,总是存在一个参考系使得式 6 成立.我们定义如下的两个量
\begin{equation} h = \eta^{\mu\nu} h_{\mu\nu} ~, \quad \bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h~. \end{equation}
同样的,我们可以定义另外一个量
\begin{equation} \bar h \equiv \eta^{\mu\nu} \bar h_{\mu\nu} = h - 2 h = -h~. \end{equation}
我们可以反解出 $h_{\mu\nu}$ 关于 $\bar h_{\mu\nu}$ 的表达式.
\begin{equation} h_{\mu\nu} = \bar h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} \bar h ~. \end{equation}
线性化的爱因斯坦方程如下
\begin{equation} \Box \bar h_{\mu\nu} + \eta_{\mu\nu} \partial^\rho \partial^\sigma \bar h_{\rho\sigma} - \partial^\rho \partial_\nu \bar h_{\mu\rho} - \partial^\rho\partial_\mu \bar h_{\nu\rho} = - \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ~. \end{equation}
现在我们选取如下的洛伦兹规范(也叫做希尔伯特规范,谐振子规范,或者是 De Donder 规范)
\begin{equation} \partial^\nu \bar h_{\mu\nu} = 0 ~. \end{equation}
在 $x^\mu\rightarrow x'^\mu+\xi^\mu(x)$ 变换下,$\bar h_{\mu\nu}$ 的变换如下
\begin{equation} \bar h_{\mu\nu} \rightarrow \bar h'_{\mu\nu} = \bar h_{\mu\nu} - (\partial_\mu\xi_\nu+ \partial_\nu\xi_\mu - \eta_{\mu\nu} \partial_\rho\xi^\rho )~. \end{equation}
$\partial^\nu h_{\mu\nu}$ 的变换如下
\begin{equation} \partial^\nu \bar h_{\mu\nu} \rightarrow (\partial^\nu \bar h_{\mu\nu})' = \partial^\nu \bar h_{\mu\nu} - \Box \xi_\mu ~, \end{equation}
如果我们需要让 $\partial^\nu \bar h_{\mu\nu} = 0$, 假设初始的场满足 $\partial^\nu \bar h_{\mu\nu} = f_\mu (x)$. 那我们必须选择满足下面条件的 $\xi_\mu$
\begin{equation} \Box \xi_\mu = f_\mu (x) ~. \end{equation}
这个方程总是有解的.如果我们用 $G(x)$ 来表示达朗贝尔算符的格林函数,那么它将满足
\begin{equation} \Box G(x-y) = \delta^4 (x-y) ~. \end{equation}
$\xi_\mu(x)$ 的解为
\begin{equation} \xi_\mu(x) = \int d^4 x G(x-y) f_\mu(y) ~. \end{equation}
在这样的规范条件下,式 17 的左边最后三项都为零.我们得到了一个简单的波动方程
\begin{equation} \Box \bar h_{\mu\nu} = - \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ~. \end{equation}
综合式 18 式 24 我们得到如下的方程
\begin{equation} \partial^\nu T_{\mu\nu} = 0~. \end{equation}
这个方程就是线性理论的能动量守恒方程.完整的爱因斯坦理论里面的能动量守恒方程是
\begin{equation} D^\nu T_{\mu\nu} = 0 ~. \end{equation}
线性理论里面的假设有:作为引力波源的物体一般都被近似为在平坦空间里面运动.比如互相绕转的双星系统,他们的背景被看作 $\eta_{\mu\nu}$.这说明我们在用牛顿引力来描述这个系统,而不是完整的爱因斯坦理论.

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