引力波的几何描述

                     

贡献者： zhousiyi; addis

　　 引力的作用量分为爱因斯坦作用量和物质的作用量 $S=S_E+S_M$ 其中

能量动量张量的定义如下 对作用量求变分，我们得到了如下的爱因斯坦方程 广义相对论在很大的对称群下都是不变的，比如下面的坐标变换 在上面的坐标变换下，度规按照如下规则变换 我们把这种对称性叫做广义相对论的规范对称性。现在我们把度规按照如下的方式展开 考虑如下的平移坐标变换 在这样的坐标变换下，$h_{\mu \nu }$ 按照如下规则变换 现在考虑如下的洛伦兹变换 矩阵 ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$ 满足 在洛伦兹变换下，矩阵 $g_{\mu \nu }$ 的变换如下 因此，在洛伦兹变换下，$h_{\mu \nu }$ 的变换规则如下 这说明 $h_{\mu \nu }$ 在洛伦兹变换下是张量。转动变换无论如何不会破坏 $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ 这个条件。但是对于 boost 我们必须只做总是使得 $h_{\mu \nu }\ll 1$ 能够满足的 boost 的变换。这样的理论叫做线性理论。 另外，值得注意的有以下几点

• $h_{\mu \nu }$ 在有限的平移变换 $x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+a^{\mu }$ 和洛伦兹变换 $x^{\mu }\to {\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$ 下不变。
• $h_{\mu \nu }$ 在无穷小的局域变换 $x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+{\xi }^{\mu }(x)$ 下不变。

　　 与此形成鲜明对比的是，广义相对论没有庞加莱对称性。这是因为在广义相对论的框架下，平坦空间并没有什么特殊性，而庞加莱对称群是平坦空间里面的对称群。但是，广义相对论拥有全部的坐标变换的不变性，而不仅仅是无穷小的坐标变换的不变性。 在线性阶，黎曼张量是

在我们感兴趣的物理情形下，总是存在一个参考系使得式 6 成立。我们定义如下的两个量 同样的，我们可以定义另外一个量 我们可以反解出 $h_{\mu \nu }$ 关于 ${\overline{h}}_{\mu \nu }$ 的表达式。 线性化的爱因斯坦方程如下 现在我们选取如下的洛伦兹规范（也叫做希尔伯特规范，谐振子规范，或者是 De Donder 规范） 在 $x^{\mu }\to x^{\prime \mu }+{\xi }^{\mu }(x)$ 变换下，${\overline{h}}_{\mu \nu }$ 的变换如下 ${\partial }^{\nu }{h}_{\mu \nu }$ 的变换如下 如果我们需要让 ${\partial }^{\nu }{\overline{h}}_{\mu \nu }=0$, 假设初始的场满足 ${\partial }^{\nu }{\overline{h}}_{\mu \nu }=f_{\mu }(x)$. 那我们必须选择满足下面条件的 ${\xi }_{\mu }$ 这个方程总是有解的。如果我们用 $G(x)$ 来表示达朗贝尔算符的格林函数，那么它将满足 ${\xi }_{\mu }(x)$ 的解为 在这样的规范条件下，式 17 的左边最后三项都为零。我们得到了一个简单的波动方程 综合式 18 和式 24 我们得到如下的方程 这个方程就是线性理论的能动量守恒方程。完整的爱因斯坦理论里面的能动量守恒方程是 线性理论里面的假设有：作为引力波源的物体一般都被近似为在平坦空间里面运动。比如互相绕转的双星系统，他们的背景被看作 ${\eta }_{\mu \nu }$。这说明我们在用牛顿引力来描述这个系统，而不是完整的爱因斯坦理论。