天津大学 2014 年考研量子力学答案

                     

贡献者: Entanglement

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1.

  1. 对于 $\psi(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{5}}\psi_{310} + \frac{2}{\sqrt{5}}\psi_{211} $,主量子数 $n$ 可能等于 $3,2$.
    表1:$\hat{L}_{z},\hat{L}^{2}$ 的可能值与几率
    $\hat{L}_z$ 的可能值 0 $\hbar$
    $\hat{L}^2$ 的可能值 $2\hbar^{2}$ $2\hbar^{2}$
    相应几率 $\frac{1}{5}$ $\frac{4}{5}$
    $\hat{L}_{z}$ 和 $\hat{L}^{2}$ 的平均值为:
    \begin{align} & \overline{\hat{L}_{z}} = 0 \times \frac{1}{5} + \hbar \times \frac{4}{5} = \frac{4\hbar}{5} \\ & \overline{\hat{L}^{2}} = 2\hbar^{2} \times \frac{1}{5} + 2\hbar^{2} \times \frac{4}{5} = 2\hbar^{2} \end{align}
  2. (1) 光的波动性:光的干涉现象,光的衍射现象.光的粒子性:光电效应,康普顿效应.
    (2)戴维孙—革末实验,即电子衍射实验除了证实电子具有粒子性之外也具有波动性.
  3. 设均匀磁场方向沿 $x$ 方向则:
    \begin{equation} \begin{aligned} \hat{H}=& -\vec{\mu} \boldsymbol\cdot \vec{B} \\ =& g_{n}\vec{S}_{x} \boldsymbol\cdot \vec{B} \\ =& gB\hat{S}_{x} \end{aligned} \end{equation}
    在 $(\hat{S}^{2},\hat{S}_{z})$ 表象中:
    \begin{equation} \hat{H}=\frac{gB\hbar}{2} \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \end{equation}
    设体系的波函数为 $ \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} $,能量为 $E$ 则有:
    \begin{equation} \frac{gB\hbar}{2} \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} =E \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} \end{equation}
    其久期方程为:
    \begin{equation} \begin{vmatrix}-E&\frac{gB\hbar}{2}\\\frac{gB\hbar}{2}&-E\end{vmatrix} =0 \end{equation}
    解得 $E_{1}=\frac{gB\hbar}{2}$,$E_{2}=-\frac{gB\hbar}{2}$.故电子的能级可能为 $\frac{gB\hbar}{2}$,$-\frac{gB\hbar}{2}$.

2.

  1. 对于二维谐振子,其势能为:
    \begin{equation} V(x,y)=\frac{1}{2}m\Omega^{2}(x^{2}+y^{2}) \end{equation}
    哈密顿量为:
    \begin{equation} \hat{H}=-\frac{\hbar}{2m}( \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} )+\frac{1}{2}m\Omega^{2}(x^{2}+y^{2}) \end{equation}
    设其波函数为 $\psi(x,y)$,能量为 $E$,则
    \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}( \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} )+\frac{1}{2}m\Omega^{2}(x^{2}+y^{2}) \right] \psi(x,y)=E\psi(x,y) \end{equation}
    分离变量 $\psi(x,y)=\phi(x)\phi(y)$,然后在等式两边同时除以 $\phi(x)\phi(y)$,则有:
    \begin{equation} \frac{ \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega x^{2} \right] \phi(x)}{\phi(x)}+\frac{ \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega y^{2} \right] \phi(y)}{\phi(y)}=E \end{equation}
    因此可得:
    \begin{align} & \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega^{2}x^{2} \right] \phi{x}=E_{x}\phi(x)\\ & \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega^{2}y^{2} \right] \phi{y}=E_{y}\phi(y) \end{align}
    解得:
    \begin{align} &\phi(x)=N_{n_{x}}e^{-\frac{\alpha^{2}x^{2}}{2}}H_{n_{x}}(\alpha x),\quad E_{x}=(n_{x}+\frac{1}{2})\hbar \Omega,\quad n_{x}=0,1,2\cdots \\ &\phi(y)=N_{n_{y}}e^{-\frac{\alpha^{2}y^{2}}{2}}H_{n_{y}}(\alpha y),\quad E_{y}=(n_{y}+\frac{1}{2})\hbar \Omega,\quad n_{y}=0,1,2\cdots \end{align}
    因此有:
    \begin{equation} \psi(x,y)=\phi(x)\phi(y)=N_{n_{x}}N_{n_{y}}e^{-\frac{\alpha^{2}(x^{2}+y^{2})}{2}}H_{n_{x}}(\alpha x)H_{n_{y}}(\alpha y) \end{equation}
    \begin{equation} E=(n_{x}+n_{y}+1)\hbar \Omega=(N+1)\hbar \Omega,\quad N=0,1,2,\cdots \end{equation}
  2. 当处于基态时,非简并.当处于第 $n$ 激发态时,其简并度为 $n+1$.
  3. 因为
    \begin{align} &H_{n_x}(-\alpha x)=(-1)^{n_x}H_{n_x}(\alpha x) \\ &H_{n_y}(-\alpha y)=(-1)^{n_y}H_{n_y}(\alpha y) \end{align}
    故而
    \begin{equation} H_{n_x}(-\alpha x)H_{n_y}(-\alpha y)=(-1)^{n_x + n_y}H_{n_x}(\alpha x)H_{n_y}(\alpha y) \end{equation}
    答:所以当 $N$ 为奇数时,奇宇称;当 $N$ 为偶数时,偶宇称.

3.

  1. $\psi=\sqrt{\frac{1}{3}}\psi_{0}(x)+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{1}(x)$ 对于一维谐振子,其本征能量为:
    \begin{equation} E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega,\quad n=0,1,2,\cdots \end{equation}
    因此任意时间的波函数为:
    \begin{equation} \psi(x,t)=\sqrt{\frac{1}{3}}\psi_{0}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{1}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \end{equation}
    任意时刻坐标的平均值为:
    \begin{equation} \begin{aligned} \bar{x}&=\int^{+\infty}_{-\infty}\psi^{*}(x,t)x\psi(x,t) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int^{+\infty}_{-\infty} \left[\sqrt{\frac{1}{3}}\psi^{*}_{0}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi^{*}_{1}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right] x \left[\sqrt{\frac{1}{3}}\psi_{0}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{1}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right] \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int^{+\infty}_{-\infty} \left[\sqrt{\frac{1}{3}}\psi^{*}_{0}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi^{*}_{1}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right] \left\{\sqrt{\frac{1}{3}}\frac{1}{\alpha} \left[\sqrt{\frac{1}{2}}\psi_{1}(x) \right] e^{-\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\alpha} \left[\sqrt{\frac{1+1}{2}}\psi_{2}(x)+\sqrt{\frac{1}{2}}\psi_{0}(x) \right] e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right\} \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{1}{3\alpha}(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}) \end{aligned} \end{equation}
  2. 能量可能的取值和概率为:
    表2:能量与概率
    能量 $\frac{1}{2}\hbar\omega$ $\frac{3}{2}\hbar\omega$
    概率 $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$
    能量的平均值为:
    \begin{equation} \bar{E}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\hbar\omega + \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}\hbar\omega=\frac{7}{6}\hbar\omega \end{equation}

4.

  1. 微扰项为:
    \begin{equation} H'= \left\{\begin{aligned} &V_{0}\quad (\frac{a}{2} < x < a)\\ &0\quad \text{其他} \end{aligned}\right. \end{equation}
  2. 不考虑微扰时,体系的能级和波函数非别为:
    \begin{equation} E^{(0)}_{n}=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2Ma^2} \end{equation}
    \begin{equation} \psi^{(0)}_{n}= \left\{\begin{aligned} & \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}}\quad 0 < x < a\\ & 0 \quad \text{其他}\\ \end{aligned}\right. \end{equation}
    能量的一级修正为:
    \begin{equation} \begin{aligned} E^{(1)}_{n}=H'_{nn}=&\int \psi^{(0)*}_{n}H'\psi^{0}_{n} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}}V_{0}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{2V_{0}}{a}\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sin^{2}\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{V_{0}}{a}\int^{a}_{\frac{a}{2}} 1- \cos^{2}\left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{V_{0}}{2} \end{aligned} \end{equation}
    微扰矩阵元 $H'_{mn}$ 为:
    \begin{equation} \begin{aligned} H'_{mn}=&\int \psi^{(0)*}_{m}H'\psi^{(0)}_{n} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin{\frac{m\pi x}{a}} V_{0} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin{\frac{n\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{2V_{0}}{a}\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sin{\frac{m\pi x}{a}} \sin{\frac{n\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{2V_{0}}{a}(-\frac{1}{2})\int^{a}_{\frac{a}{2}} \cos{\frac{(m+n)\pi x}{a}}-\cos{\frac{(m-n)\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}

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