天津大学 2014 年考研量子力学答案

贡献者： Entanglement

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1.

1. 对于 $\psi(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{5}}\psi_{310} + \frac{2}{\sqrt{5}}\psi_{211} $，主量子数 $n$ 可能等于 $3,2$.
   
   表1：$\hat{L}_{z},\hat{L}^{2}$ 的可能值与几率

   $\hat{L}_z$ 的可能值	0	$\hbar$
   $\hat{L}^2$ 的可能值	$2\hbar^{2}$	$2\hbar^{2}$
   相应几率	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$

   $\hat{L}_{z}$ 和 $\hat{L}^{2}$ 的平均值为：
   
   \begin{align} & \overline{\hat{L}_{z}} = 0 \times \frac{1}{5} + \hbar \times \frac{4}{5} = \frac{4\hbar}{5} ~,\\ & \overline{\hat{L}^{2}} = 2\hbar^{2} \times \frac{1}{5} + 2\hbar^{2} \times \frac{4}{5} = 2\hbar^{2}~. \end{align}
2. (1) 光的波动性：光的干涉现象，光的衍射现象。光的粒子性：光电效应，康普顿效应。
   (2)戴维孙—革末实验，即电子衍射实验除了证实电子具有粒子性之外也具有波动性。
3. 设均匀磁场方向沿 $x$ 方向则：
   \begin{equation} \begin{aligned} \hat{H}=& - \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ =& g_{n} \boldsymbol{\mathbf{S}} _{x} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ =& gB\hat{S}_{x}~. \end{aligned} \end{equation}
   在 $(\hat{S}^{2},\hat{S}_{z})$ 表象中：
   \begin{equation} \hat{H}=\frac{gB\hbar}{2} \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} ~. \end{equation}
   设体系的波函数为 $ \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} $，能量为 $E$ 则有：
   \begin{equation} \frac{gB\hbar}{2} \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} =E \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} ~, \end{equation}
   其久期方程为：
   \begin{equation} \begin{vmatrix}-E&\frac{gB\hbar}{2}\\\frac{gB\hbar}{2}&-E\end{vmatrix} =0~. \end{equation}
   解得 $E_{1}=\frac{gB\hbar}{2}$，$E_{2}=-\frac{gB\hbar}{2}$。故电子的能级可能为 $\frac{gB\hbar}{2}$，$-\frac{gB\hbar}{2}$。

2.

1. 对于二维谐振子，其势能为：
   \begin{equation} V(x,y)=\frac{1}{2}m\Omega^{2}(x^{2}+y^{2})~. \end{equation}
   哈密顿量为：
   \begin{equation} \hat{H}=-\frac{\hbar}{2m}( \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} )+\frac{1}{2}m\Omega^{2}(x^{2}+y^{2})~. \end{equation}
   设其波函数为 $\psi(x,y)$，能量为 $E$，则
   \begin{equation} \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}( \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} )+\frac{1}{2}m\Omega^{2}(x^{2}+y^{2}) \right] \psi(x,y)=E\psi(x,y)~. \end{equation}
   分离变量 $\psi(x,y)=\phi(x)\phi(y)$，然后在等式两边同时除以 $\phi(x)\phi(y)$，则有：
   \begin{equation} \frac{ \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega x^{2} \right] \phi(x)}{\phi(x)}+\frac{ \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega y^{2} \right] \phi(y)}{\phi(y)}=E~. \end{equation}
   因此可得：
   \begin{align} & \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega^{2}x^{2} \right] \phi{x}=E_{x}\phi(x)~,\\ & \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{y}^{2}} +\frac{1}{2}m\Omega^{2}y^{2} \right] \phi{y}=E_{y}\phi(y)~. \end{align}
   解得：
   \begin{align} &\phi(x)=N_{n_{x}}e^{-\frac{\alpha^{2}x^{2}}{2}}H_{n_{x}}(\alpha x),\quad E_{x}=(n_{x}+\frac{1}{2})\hbar \Omega,\quad n_{x}=0,1,2\cdots~ \\ &\phi(y)=N_{n_{y}}e^{-\frac{\alpha^{2}y^{2}}{2}}H_{n_{y}}(\alpha y),\quad E_{y}=(n_{y}+\frac{1}{2})\hbar \Omega,\quad n_{y}=0,1,2\cdots~ \end{align}
   因此有：
   \begin{equation} \psi(x,y)=\phi(x)\phi(y)=N_{n_{x}}N_{n_{y}}e^{-\frac{\alpha^{2}(x^{2}+y^{2})}{2}}H_{n_{x}}(\alpha x)H_{n_{y}}(\alpha y)~, \end{equation}
   \begin{equation} E=(n_{x}+n_{y}+1)\hbar \Omega=(N+1)\hbar \Omega,\quad N=0,1,2,\cdots~ \end{equation}
2. 当处于基态时，非简并。当处于第 $n$ 激发态时，其简并度为 $n+1$。
3. 因为
   \begin{align} &H_{n_x}(-\alpha x)=(-1)^{n_x}H_{n_x}(\alpha x) ~,\\ &H_{n_y}(-\alpha y)=(-1)^{n_y}H_{n_y}(\alpha y)~, \end{align}
   故而
   \begin{equation} H_{n_x}(-\alpha x)H_{n_y}(-\alpha y)=(-1)^{n_x + n_y}H_{n_x}(\alpha x)H_{n_y}(\alpha y)~. \end{equation}
   答：所以当 $N$ 为奇数时，奇宇称；当 $N$ 为偶数时，偶宇称。

3.

1. $\psi=\sqrt{\frac{1}{3}}\psi_{0}(x)+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{1}(x)$ 对于一维谐振子，其本征能量为：
   \begin{equation} E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega,\quad n=0,1,2,\cdots~ \end{equation}
   因此任意时间的波函数为：
   \begin{equation} \psi(x,t)=\sqrt{\frac{1}{3}}\psi_{0}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{1}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}~. \end{equation}
   任意时刻坐标的平均值为：
   \begin{equation} \begin{aligned} \bar{x}&=\int^{+\infty}_{-\infty}\psi^{*}(x,t)x\psi(x,t) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int^{+\infty}_{-\infty} \left[\sqrt{\frac{1}{3}}\psi^{*}_{0}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi^{*}_{1}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right] x\\ &\qquad \left[\sqrt{\frac{1}{3}}\psi_{0}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{1}(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right] \,\mathrm{d}{x} \\ &=\int^{+\infty}_{-\infty} \left[\sqrt{\frac{1}{3}}\psi^{*}_{0}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi^{*}_{1}(x)e^{\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right] \\ &\qquad \left\{\sqrt{\frac{1}{3}}\frac{1}{\alpha} \left[\sqrt{\frac{1}{2}}\psi_{1}(x) \right] e^{-\frac{i}{\hbar}E_{0}t}+\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\alpha} \left[\sqrt{\frac{1+1}{2}}\psi_{2}(x)+\sqrt{\frac{1}{2}}\psi_{0}(x) \right] e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right\} \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{1}{3\alpha}(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t})~. \end{aligned} \end{equation}
2. 能量可能的取值和概率为：
   表2：能量与概率

   能量	$\frac{1}{2}\hbar\omega$	$\frac{3}{2}\hbar\omega$
   概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

   能量的平均值为：
   \begin{equation} \bar{E}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\hbar\omega + \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}\hbar\omega=\frac{7}{6}\hbar\omega~. \end{equation}

4.

1. 微扰项为：
   \begin{equation} H'= \left\{\begin{aligned} &V_{0}\quad (\frac{a}{2} < x< a)\\ &0\quad \text{其他}~. \end{aligned}\right. \end{equation}
2. 不考虑微扰时，体系的能级和波函数非别为：
   \begin{equation} E^{(0)}_{n}=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2Ma^2}~, \end{equation}
   \begin{equation} \psi^{(0)}_{n}= \left\{\begin{aligned} & \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}}\quad 0< x< a\\ & 0 \quad \text{其他}~.\\ \end{aligned}\right. \end{equation}
   能量的一级修正为：
   \begin{equation} \begin{aligned} E^{(1)}_{n}=H'_{nn}=&\int \psi^{(0)*}_{n}H'\psi^{0}_{n} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}}V_{0}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{2V_{0}}{a}\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sin^{2}\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{V_{0}}{a}\int^{a}_{\frac{a}{2}} 1- \cos^{2}\left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{V_{0}}{2}~. \end{aligned} \end{equation}
   微扰矩阵元 $H'_{mn}$ 为：
   \begin{equation} \begin{aligned} H'_{mn}=&\int \psi^{(0)*}_{m}H'\psi^{(0)}_{n} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin{\frac{m\pi x}{a}} V_{0} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin{\frac{n\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{2V_{0}}{a}\int^{a}_{\frac{a}{2}} \sin{\frac{m\pi x}{a}} \sin{\frac{n\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} \\ =&\frac{2V_{0}}{a}(-\frac{1}{2})\int^{a}_{\frac{a}{2}} \cos{\frac{(m+n)\pi x}{a}}-\cos{\frac{(m-n)\pi x}{a}} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}