天津大学 2014 年考研量子力学答案

贡献者： Entanglement

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1.

对于 $ψ (r, θ, φ) = \frac{1}{\sqrt{5}} ψ_{310} + \frac{2}{\sqrt{5}} ψ_{211}$ ，主量子数 $n$ 可能等于 $3, 2$ .

表1： ${\hat{L}}_{z}, {\hat{L}}^{2}$ 的可能值与几率

${\hat{L}}_{z}$ 的可能值 0 $ℏ$
${\hat{L}}^{2}$ 的可能值 $2 ℏ^{2}$ $2 ℏ^{2}$
相应几率 $\frac{1}{5}$ $\frac{4}{5}$

${\hat{L}}_{z}$ 和 ${\hat{L}}^{2}$ 的平均值为：

$\begin{aligned} (1) & \overset{―}{{\hat{L}}_{z}} = 0 \times \frac{1}{5} + ℏ \times \frac{4}{5} = \frac{4 ℏ}{5}, \\ (2) & \overset{―}{{\hat{L}}^{2}} = 2 ℏ^{2} \times \frac{1}{5} + 2 ℏ^{2} \times \frac{4}{5} = 2 ℏ^{2} . \end{aligned}$
(1) 光的波动性：光的干涉现象，光的衍射现象。光的粒子性：光电效应，康普顿效应。
(2)戴维孙—革末实验，即电子衍射实验除了证实电子具有粒子性之外也具有波动性。
设均匀磁场方向沿 $x$ 方向则：
$\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \hat{H} = & - μ \cdot B \\ = & g_{n} S_{x} \cdot B \\ = & g B {\hat{S}}_{x} . \end{aligned} \end{matrix}$
在 $({\hat{S}}^{2}, {\hat{S}}_{z})$ 表象中：
$\begin{matrix} (4) & \hat{H} = \frac{g B ℏ}{2} [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] . \end{matrix}$
设体系的波函数为 $[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}]$ ，能量为 $E$ 则有：
$\begin{matrix} (5) & \frac{g B ℏ}{2} [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = E [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}], \end{matrix}$
其久期方程为：
$\begin{matrix} (6) & | \begin{matrix} - E & \frac{g B ℏ}{2} \\ \frac{g B ℏ}{2} & - E \end{matrix} | = 0 . \end{matrix}$
解得 $E_{1} = \frac{g B ℏ}{2}$ ， $E_{2} = - \frac{g B ℏ}{2}$ 。故电子的能级可能为 $\frac{g B ℏ}{2}$ ， $- \frac{g B ℏ}{2}$ 。

2.

对于二维谐振子，其势能为：
$\begin{matrix} (7) & V (x, y) = \frac{1}{2} m Ω^{2} (x^{2} + y^{2}) . \end{matrix}$
哈密顿量为：
$\begin{matrix} (8) & \hat{H} = - \frac{ℏ}{2 m} (\frac{d^{2}}{d x^{2}} + \frac{d^{2}}{d y^{2}}) + \frac{1}{2} m Ω^{2} (x^{2} + y^{2}) . \end{matrix}$
设其波函数为 $ψ (x, y)$ ，能量为 $E$ ，则
$\begin{matrix} (9) & [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} (\frac{d^{2}}{d x^{2}} + \frac{d^{2}}{d y^{2}}) + \frac{1}{2} m Ω^{2} (x^{2} + y^{2})] ψ (x, y) = E ψ (x, y) . \end{matrix}$
分离变量 $ψ (x, y) = ϕ (x) ϕ (y)$ ，然后在等式两边同时除以 $ϕ (x) ϕ (y)$ ，则有：
$\begin{matrix} (10) & \frac{[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + \frac{1}{2} m Ω x^{2}] ϕ (x)}{ϕ (x)} + \frac{[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d y^{2}} + \frac{1}{2} m Ω y^{2}] ϕ (y)}{ϕ (y)} = E . \end{matrix}$
因此可得：
$\begin{aligned} (11) & [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + \frac{1}{2} m Ω^{2} x^{2}] ϕ x = E_{x} ϕ (x), \\ (12) & [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d y^{2}} + \frac{1}{2} m Ω^{2} y^{2}] ϕ y = E_{y} ϕ (y) . \end{aligned}$
解得：
$\begin{aligned} (13) & ϕ (x) = N_{n_{x}} e^{- \frac{α^{2} x^{2}}{2}} H_{n_{x}} (α x), E_{x} = (n_{x} + \frac{1}{2}) ℏ Ω, n_{x} = 0, 1, 2 \dots \\ (14) & ϕ (y) = N_{n_{y}} e^{- \frac{α^{2} y^{2}}{2}} H_{n_{y}} (α y), E_{y} = (n_{y} + \frac{1}{2}) ℏ Ω, n_{y} = 0, 1, 2 \dots \end{aligned}$
因此有：
$\begin{matrix} (15) & ψ (x, y) = ϕ (x) ϕ (y) = N_{n_{x}} N_{n_{y}} e^{- \frac{α^{2} (x^{2} + y^{2})}{2}} H_{n_{x}} (α x) H_{n_{y}} (α y), \end{matrix}$

$\begin{matrix} (16) & E = (n_{x} + n_{y} + 1) ℏ Ω = (N + 1) ℏ Ω, N = 0, 1, 2, \dots \end{matrix}$
当处于基态时，非简并。当处于第 $n$ 激发态时，其简并度为 $n + 1$ 。
因为
$\begin{aligned} (17) & H_{n_{x}} (- α x) = (- 1)^{n_{x}} H_{n_{x}} (α x), \\ (18) & H_{n_{y}} (- α y) = (- 1)^{n_{y}} H_{n_{y}} (α y), \end{aligned}$
故而
$\begin{matrix} (19) & H_{n_{x}} (- α x) H_{n_{y}} (- α y) = (- 1)^{n_{x} + n_{y}} H_{n_{x}} (α x) H_{n_{y}} (α y) . \end{matrix}$
答：所以当 $N$ 为奇数时，奇宇称；当 $N$ 为偶数时，偶宇称。

3.

$ψ = \sqrt{\frac{1}{3}} ψ_{0} (x) + \sqrt{\frac{2}{3}} ψ_{1} (x)$ 对于一维谐振子，其本征能量为：
$\begin{matrix} (20) & E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω, n = 0, 1, 2, \dots \end{matrix}$
因此任意时间的波函数为：
$\begin{matrix} (21) & ψ (x, t) = \sqrt{\frac{1}{3}} ψ_{0} (x) e^{- \frac{i}{ℏ} E_{0} t} + \sqrt{\frac{2}{3}} ψ_{1} (x) e^{- \frac{i}{ℏ} E_{1} t} . \end{matrix}$
任意时刻坐标的平均值为：
$\begin{matrix} (22) & \begin{aligned} \bar{x} & = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} (x, t) x ψ (x, t) d x \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} [\sqrt{\frac{1}{3}} ψ_{0}^{*} (x) e^{\frac{i}{ℏ} E_{0} t} + \sqrt{\frac{2}{3}} ψ_{1}^{*} (x) e^{\frac{i}{ℏ} E_{1} t}] x \\ [\sqrt{\frac{1}{3}} ψ_{0} (x) e^{- \frac{i}{ℏ} E_{0} t} + \sqrt{\frac{2}{3}} ψ_{1} (x) e^{- \frac{i}{ℏ} E_{1} t}] d x \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} [\sqrt{\frac{1}{3}} ψ_{0}^{*} (x) e^{\frac{i}{ℏ} E_{0} t} + \sqrt{\frac{2}{3}} ψ_{1}^{*} (x) e^{\frac{i}{ℏ} E_{1} t}] \\ {\sqrt{\frac{1}{3}} \frac{1}{α} [\sqrt{\frac{1}{2}} ψ_{1} (x)] e^{- \frac{i}{ℏ} E_{0} t} + \sqrt{\frac{2}{3}} \frac{1}{α} [\sqrt{\frac{1 + 1}{2}} ψ_{2} (x) + \sqrt{\frac{1}{2}} ψ_{0} (x)] e^{- \frac{i}{ℏ} E_{1} t}} d x \\ = \frac{1}{3 α} (e^{- i ω t} + e^{i ω t}) . \end{aligned} \end{matrix}$
能量可能的取值和概率为：
表2：能量与概率

能量 $\frac{1}{2} ℏ ω$ $\frac{3}{2} ℏ ω$
概率 $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$

能量的平均值为：
$\begin{matrix} (23) & \bar{E} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} ℏ ω + \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} ℏ ω = \frac{7}{6} ℏ ω . \end{matrix}$

4.

微扰项为：
$\begin{matrix} (24) & H^{'} = {\begin{aligned} V_{0} (\frac{a}{2} < x < a) \\ 0 其他 . \end{aligned} \end{matrix}$
不考虑微扰时，体系的能级和波函数非别为：
$\begin{matrix} (25) & E_{n}^{(0)} = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 M a^{2}}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} (26) & ψ_{n}^{(0)} = {\begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π x}{a} 0 < x < a \\ 0 其他 . \end{aligned} \end{matrix}$
能量的一级修正为：
$\begin{matrix} (27) & \begin{aligned} E_{n}^{(1)} = H_{n n}^{'} = & \int ψ_{n}^{(0) *} H^{'} ψ_{n}^{0} d x \\ = & \int_{\frac{a}{2}}^{a} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π x}{a} V_{0} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π x}{a} d x \\ = & \frac{2 V_{0}}{a} \int_{\frac{a}{2}}^{a} \sin^{2} (\frac{n π x}{a}) d x \\ = & \frac{V_{0}}{a} \int_{\frac{a}{2}}^{a} 1 - \cos^{2} (\frac{2 n π x}{a}) d x \\ = & \frac{V_{0}}{2} . \end{aligned} \end{matrix}$
微扰矩阵元 $H_{m n}^{'}$ 为：
$\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} H_{m n}^{'} = & \int ψ_{m}^{(0) *} H^{'} ψ_{n}^{(0)} d x \\ = & \int_{\frac{a}{2}}^{a} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{m π x}{a} V_{0} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π x}{a} d x \\ = & \frac{2 V_{0}}{a} \int_{\frac{a}{2}}^{a} \sin \frac{m π x}{a} \sin \frac{n π x}{a} d x \\ = & \frac{2 V_{0}}{a} (- \frac{1}{2}) \int_{\frac{a}{2}}^{a} \cos \frac{(m + n) π x}{a} - \cos \frac{(m - n) π x}{a} d x . \end{aligned} \end{matrix}$

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${\hat{L}}_{z}$ 的可能值	0	$ℏ$
${\hat{L}}^{2}$ 的可能值	$2 ℏ^{2}$	$2 ℏ^{2}$
相应几率	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$

能量	$\frac{1}{2} ℏ ω$	$\frac{3}{2} ℏ ω$
概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$