天津大学 2014 年考研量子力学

贡献者： Entanglement; addis

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1. 30 分

1. 已知氢原子的状态为 $\varPsi (r,\theta,\varphi)=\frac{\varPsi (310)}{\sqrt{5}}+\frac{2\varPsi (211)}{\sqrt{5}}$，求主量子数、角动量和角动量第三分量的可能值、相应几率及平均值。
2. 写出电子和光的波粒二象性事实。
3. 磁矩为 $\bar{\mu}=-g^{\bar{s}}_{n}$ 的电子位于均匀磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中，求电子的能级。

2. 30 分

　　 质量为 $M$，频率为 $\Omega$ 的二维谐振子，求：

1. 其哈密顿量，其能量本征态和能级；
2. 各能级的简并度；
3. 各能级的宇称。

3. 30 分

　　 谐振子处于 $\varPsi =\sqrt{\frac{1}{3}}\varPsi_{0}+\sqrt{\frac{2}{3}}\varPsi_{1}$ 态。

1. 求坐标的平均值（任意时刻的）；
2. 求任意时刻的能量平均值，并解释结果。

4. 30 分

　　 处于势场 $V(x)= \left\{\begin{aligned} &\infty,\quad (-\infty,0)\\&0,\quad (0,\frac{a}{2})\\&V_{0},\quad (\frac{a}{2},a)\\&\infty,\quad (a,+\infty) \end{aligned}\right. $ 的粒子质量为 $M$，求：

1. 哪部分可以看作微扰项？
2. 求本征函数到一级修正和能量到二级修正。

5. 30 分

　　 一个正电子和负电子相互吸引称为电子偶素，其空间部分的波函数为 $\varPsi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=Are^{2\frac{r}{a}}$，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为正负电子的相对坐标。

1. 求 $A$ 的值；
2. 若两电子自旋的相互作用为 $g \boldsymbol{\mathbf{S_{1}}} \boldsymbol{\mathbf{S_{2}}} $，$g$ 为常数，求体系能量与波函数。