天津大学 2015 年考研量子力学

贡献者： Entanglement

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1. 30 分

　　 ${\displaystyle \Psi (x)=A[\frac{1}{\sqrt{3}}{\Psi }_{201}(x)-\sqrt{\frac{2}{3}}{\Psi }_{311}(x)]}$，求归一化函数和角动量平均值。

2. 30 分

1. $[L^2,L_x]$ 的对易关系，定义 ${\hat{L}}_{+}={\hat{L}}_x+i{\hat{L}}_y$，${\hat{L}}_{-}={\hat{L}}_x-i{\hat{L}}_y$，求 $[{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_z]$；$[{\hat{L}}_{-},{\hat{L}}_z]$；$[{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}]$ 作用在波函数 $Y_{lm}$ 的结果；（10 分）
2. 简述光的波粒二象性的过程；（5 分）
3. 已知 $e^{i{\rho }_y\partial }=A+i{\rho }_{y}B$，求 $A$，$B$ 与 $\partial$ 的关系。（$\partial$ 为常数）（15 分）

3. 30 分

　　 $\Psi (x,0)=A[{\Psi }_0(x)+x{\Psi }_1(x)]$

1. 求 $t$ 时刻的波函数；
2. 坐标的平均值；
3. 能量平均值并解释其结果。

4. 30 分

　　 一质量为 $M$，带电荷量为 $q$ 的粒子在 $(0,a)$ 的无限深势阱中运动，受到弱均匀外电场 $ϵ$ 的作用，求波函数至一级修正，能量至二级修正。

5. 30 分

　　 与电子一样，中子的自旋也是 $\frac{1}{2}$ 并且具有磁矩 $\mathit{\mu }=g\mathbf{S}$.

1. 若两个中子之间有相互作用能量是 $g{\mathbf{S}}_1{\mathbf{S}}_2$，求体系的能级和波函数，讨论能级简并度。
2. 若受到磁场 $B$，则能量和简并度有何改变。