天津大学 2015 年考研量子力学

贡献者： Entanglement

1. 30 分

　　 $\displaystyle \varPsi (x)=A\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\varPsi_{201}(x)-\sqrt{\frac{2}{3}}\varPsi_{311}(x)\right]$，求归一化函数和角动量平均值。

2. 30 分

1. $[L^{2},L_{x}]$ 的对易关系，定义 $\hat{L}_{+}=\hat{L}_{x}+i\hat{L}_{y}$，$\hat{L}_{-}=\hat{L}_{x}-i\hat{L}_{y}$，求 $[\hat{L}_{+},\hat{L}_{z}]$；$[\hat{L}_{-},\hat{L}_{z}]$；$[\hat{L}_{+},\hat{L}_{-}]$ 作用在波函数 $Y_{lm}$ 的结果；（10 分）
2. 简述光的波粒二象性的过程；（5 分）
3. 已知 $e^{i\rho_{y}\partial}=A+i\rho_{y}B$，求 $A$，$B$ 与 $\partial$ 的关系。（$\partial$ 为常数）（15 分）

3. 30 分

　　 $\varPsi (x,0)=A[\varPsi_{0}(x)+x\varPsi_{1}(x)]$

1. 求 $t$ 时刻的波函数；
2. 坐标的平均值；
3. 能量平均值并解释其结果。

4. 30 分

　　 一质量为 $M$，带电荷量为 $q$ 的粒子在 $(0,a)$ 的无限深势阱中运动，受到弱均匀外电场 $\epsilon$ 的作用，求波函数至一级修正，能量至二级修正。

5. 30 分

　　 与电子一样，中子的自旋也是 $\frac{1}{2}$ 并且具有磁矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} =g \boldsymbol{\mathbf{S}} $.

1. 若两个中子之间有相互作用能量是 $g \boldsymbol{\mathbf{S}} _{1} \boldsymbol{\mathbf{S}} _{2}$，求体系的能级和波函数，讨论能级简并度。
2. 若受到磁场 $B$，则能量和简并度有何改变。