天津大学 2013 年考研量子力学

贡献者： Entanglement

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1.

1. 假设氢原子处于状态 $\Psi (r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Psi_{310}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Psi_{210}$，写出氢原子主量子数，角动量的平方及角动量第三分量的平均值。
2. 举例说明电子和光子具有波粒二象性。
3. 写出 $\Psi = A \sin\left(kx\right) \cdot \cos\left(2kx\right) $ 的动量平方的平均值。

2.

1. 质量为 $m$，频率为 $\omega$ 的谐振子初始时刻处于状态 $Ax^2\Psi_n(x)$。
   (1)求归一化系数 $A$。
   (2)任何时刻谐振子波函数及坐标的平均值。
2. 对于质量为 $m$，频率为 $\omega$ 的各向同性谐振子，写出相应波函数及能级。

3.

　　 质量为 $m$ 的粒子被限制在无限大平行板之间，设板间距为 $d$，求体系能级和波函数。

4.

　　 质量为 $m$ 的粒子处于势场 $V(x)= \left\{\begin{aligned} &\infty \quad x<0,x>a\\ &\alpha x \quad 0\le x \le \frac{a}{2}\\ &0 \quad \frac{a}{2}\le x \le a \end{aligned}\right. $ 中运动。

1. 写出哈密顿微扰量。
2. 求能量至二级修正。

5.

　　 中子自旋为 $\frac{1}{2}$，磁矩写成为 $g\hat{s}$，其中 $\hat{s}$ 是自旋算符。

1. 一个中子在某一方向的外磁场 $B_0$ 中运动，求体系的波函数与能级。
2. 若三个中子的哈密顿量为 $A(\hat{s_1}+\hat{s_2})\hat{s_3} $，其中 $A$ 为常数，求体系的能级。