天津大学 2012 年考研量子力学答案

贡献者： Entanglement

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1.

频率为 $ω$ 的简谐振子出于状态 $ψ (x) = \frac{1}{\sqrt{5}} ψ_{0} (x) - \sqrt{\frac{2}{5}} ψ_{1} (x) - A ψ_{2} (x)$ ，将其归一化，并求能量平均值。
解：由 ${| \frac{1}{\sqrt{5}} |}^{2} + {| - \sqrt{\frac{2}{5}} |}^{2} + {| A |}^{2} = 1$ 可得 $A = \sqrt{\frac{2}{5}}$
因为 $E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ ，所以 $E_{0} = \frac{1}{2} ℏ ω$ ， $E_{1} = \frac{3}{2} ℏ ω$ ， $E_{2} = \frac{5}{2} ℏ ω$ 。
因此能量的平均值为：
$\bar{E} = (\frac{1}{\sqrt{5}})^{2} \cdot \frac{1}{2} ℏ ω + (- \sqrt{\frac{2}{5}})^{2} \cdot \frac{3}{2} ℏ ω + (\sqrt{\frac{2}{5}})^{2} \cdot \frac{5}{2} ℏ ω = \frac{17}{10} ℏ ω$
波函数为什么可以归一化？
答：由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和为 1。因而粒子在空间各点出现的概率只决定了波函数在空间各点的相对强度，而不决定强度的绝对大小。
三维空间转子的哈密顿量是 $H = \frac{L^{2}}{2 I}$ ，能量简并度是多少？
答：

2.

　　质量为 $m$ 的粒子，处在区间 $(0, a)$ 无限深势阱中运动，归一化函数为 $ψ (x) = x (x - a) \sqrt{\frac{30}{a^{5}}}$ 。

计算粒子处在某个本征态的概率。
写出任一时刻的波函数。

　　解：

一维无限深势阱的本征函数和本征值分别为：
$\begin{aligned} (1) & ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n π}{a} x, \\ (2) & E_{n} = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m a^{2}}, \end{aligned}$

$\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} C_{n} & = \int ψ_{n}^{*} (x) ψ (x) d x \\ = \sqrt{\frac{2}{a}} \int_{0}^{a} \sin \frac{n π}{a} x \cdot (x - a) x \sqrt{\frac{30}{a^{5}}} d x \\ = \frac{4 \sqrt{15}}{n^{3} π^{2}} [(- 1)^{n} - 1], \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (4) & w_{n} = {| C_{n} |}^{2} = {\begin{matrix} \end{matrix} . \end{matrix}$
$\begin{matrix} (5) & ψ (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \cdot \sin \frac{n π}{a} x \cdot e^{- \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m a^{2}} t} . \end{matrix}$

3.

　　一个体系的哈密顿量是 $H = \frac{P_{x}^{2} + (P_{y} - q B_{x})^{2} + P_{z}^{2}}{2 m}$ ，其中 $P_{x}$ ， $P_{y}$ ， $P_{z}$ 分别为三个方向的动量算符，求体系的能级和波函数。
解：

\begin{matrix} (6) & \hat{H} = \frac{P_{x}^{2} + (P_{y} - q B_{x})^{2} + P_{z}^{2}}{2 m} . \end{matrix}

{P_{y}, P_{z}, H}

相互对易有共同本征函数。

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} ψ (x, y, z) & = ψ_{P_{y}} (y) ψ_{P_{z}} (z) ψ (x), \\ ψ_{P_{y}} (y) & = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{\frac{i}{ℏ} P_{y} \cdot y}, \\ ψ_{P_{z}} (z) & = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{\frac{i}{ℏ} P_{z} \cdot z} . \end{aligned} \end{matrix}

本征方程

\hat{H} ψ (x, y, z) = E ψ (x, y, z)

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{P_{x}^{2} + (P_{y} - q B_{x})^{2} + P_{z}^{2}}{2 m} ψ (x, y, z) & = E ψ (x, y, z), \\ [\frac{P_{x}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m {(\frac{q B}{m})}^{2} \cdot {(x - \frac{P_{y}}{q B})}^{2}] ψ (x) & = [E - \frac{P_{z}^{2}}{2 m}] . \end{aligned} \end{matrix}

令

ω = \frac{q B}{m}

，

x_{0} = \frac{P_{y}}{q B}

，

ϵ = E - \frac{P_{z}^{2}}{2 m}

\begin{matrix} (9) & [\frac{P_{x}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} (x - x_{0}^{2})] ψ (x) = ϵ ψ (x), \end{matrix}

ϵ = (n + \frac{1}{2} ℏ ω), n = 0, 1, 2 \dots

\begin{matrix} (10) & ψ_{n} (x - x_{0}) = N_{n} e^{- \frac{α^{2} (x - x_{0})^{2}}{2}} H_{n} [α (x - x_{0})], \end{matrix}

所以

\hat{H}

体系能级为

E = ϵ + \frac{P_{z}^{2}}{2 m} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω, (n = 0, 1, 2 \dots)

。
体系的波函数为：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} ψ (x, y, z) & = \frac{1}{2 π ℏ} e^{\frac{i}{ℏ} ({\hat{P}}_{y} \hat{y} + {\hat{P}}_{z} \hat{z})} ψ_{n} (x - x_{0}) \\ = \frac{1}{2 π ℏ} e^{\frac{i}{ℏ} ({\hat{P}}_{y} \hat{y} + {\hat{P}}_{z} \hat{z})} \cdot ψ_{n} (x - \frac{P_{y}}{q B}) \\ = \frac{1}{2 π ℏ} e^{\frac{i}{ℏ} ({\hat{P}}_{y} \hat{y} + {\hat{P}}_{z} \hat{z})} \cdot ψ_{n} (x - \frac{P_{y}}{q B}) . \end{aligned} \end{matrix}

4.

　　解：在 $H_{0} = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ 体系下，波函数为 $ψ (x) = N_{n} e^{- \frac{α^{2} x^{2}}{2}} H_{n} (α x)$ ，能量为 $E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω n = 1, 2, 3 \dots$ 。
能量一级近似为：

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} E_{n}^{(1)} & = \int ψ_{n}^{*} (x) H^{'} ψ_{n} (x) d x \\ = \frac{λ}{α^{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{n}^{*} (x) \cdot x^{2} ψ_{n} (x) d x \\ = (n + \frac{1}{2}) \frac{λ}{α^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

微扰矩阵元

H_{n k}^{'}

为：

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} H_{n k}^{'} & = \int ψ_{n}^{*} (x) H^{'} ψ_{k} (x) d x \\ = λ \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{n}^{*} (x) x^{2} ψ_{k} (x) d x \\ = \frac{λ}{α^{2}} [\frac{\sqrt{k + (k - 1)}}{2} ψ_{n}^{*} \cdot ψ_{k - 2} + \frac{2 k + 1}{2} ψ_{n}^{*} \cdot ψ_{k} + \frac{\sqrt{(k + 1) (k + 2)}}{2} ψ_{n}^{*} \cdot ψ_{k + 2}] . \end{aligned} \end{matrix}

只有以下三个矩阵元不为 0

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} ⟨ ψ_{k - 2}^{(0)} | λ x^{2} | ψ_{k}^{(0)} ⟩ & = \frac{λ}{α^{2}} \cdot \frac{\sqrt{k (k - 1)}}{2} = H_{k - 2, k}^{'}, \\ ⟨ ψ_{k}^{(0)} | λ x^{2} | ψ_{k}^{(0)} ⟩ & = \frac{λ}{α^{2}} \cdot \frac{2 k (k - 1)}{2} = H_{k, k}^{'}, \\ ⟨ ψ_{k + 2}^{(0)} | λ x^{2} | ψ_{k}^{(0)} ⟩ & = \frac{λ}{α^{2}} \cdot \frac{\sqrt{(k + 1) (k + 2)}}{2} = H_{k + 2, k}^{'} . \end{aligned} \end{matrix}

5.

　　解：

由题可得 $\hat{H} = - g {\hat{S}}_{x} \cdot {\hat{B}}_{x} = - \frac{g ℏ B_{x}}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$
设为波函数 $ψ = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ ，能级 $E = ω ℏ λ$ ， $ω = - \frac{g B_{x}}{2}$ 。
所以有
$\begin{matrix} (15) & ω ℏ (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = ω ℏ λ (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), \end{matrix}$

$\begin{matrix} (16) & | \begin{matrix} - λ & 1 \\ 1 - λ \end{matrix} | = 0 ⟹ λ = \pm 1 . \end{matrix}$
当 $λ = 1$ 时 $E = ω ℏ$ ， $ψ_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ ，当 $λ = - 1$ 时 $E = - ω ℏ$ ， $ψ_{- 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ 。

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