天津大学 2012 年考研量子力学答案

                     

贡献者: Entanglement

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1.

  1. 频率为 $\omega$ 的简谐振子出于状态 $\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\psi_0(x)-\sqrt{\frac{2}{5}}\psi_1(x)-A\psi_2(x) $,将其归一化,并求能量平均值.
    解:由 $ \left\lvert \frac{1}{\sqrt{5}} \right\rvert ^2+ \left\lvert -\sqrt{\frac{2}{5}} \right\rvert ^2+ \left\lvert A \right\rvert ^2=1$ 可得 $A=\sqrt{\frac{2}{5}}$
    因为 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega$,所以 $E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega$,$E_1=\frac{3}{2}\hbar\omega$,$E_2=\frac{5}{2}\hbar\omega$.
    因此能量的平均值为:
    $\bar{E}=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\cdot\frac{1}{2}\hbar\omega+(-\sqrt{\frac{2}{5}})^2\cdot\frac{3}{2}\hbar\omega+(\sqrt{\frac{2}{5}})^2\cdot\frac{5}{2}\hbar\omega=\frac{17}{10}\hbar\omega $
  2. 波函数为什么可以归一化?
    答:由于粒子必定要在空间中的某一点出现,所以粒子在空间各点出现的概率总和为 1.因而粒子在空间各点出现的概率只决定了波函数在空间各点的相对强度,而不决定强度的绝对大小.
  3. 三维空间转子的哈密顿量是 $H=\frac{L^2}{2I}$,能量简并度是多少?
    答:

2.

   质量为 $m$ 的粒子,处在区间 $(0,a)$ 无限深势阱中运动,归一化函数为 $\psi(x)=x(x-a)\sqrt{\frac{30}{a^5}} $.

  1. 计算粒子处在某个本征态的概率.
  2. 写出任一时刻的波函数.

   解:

  1. 一维无限深势阱的本征函数和本征值分别为:
    \begin{align} &\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}\\ &E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \end{align}
    \begin{equation} \begin{aligned} C_n &=\int\psi^{*}_{n}(x)\psi(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\sqrt{\frac{2}{a}}\int^{a}_{0}\sin{\frac{n\pi}{a}x}\cdot(x-a)x\sqrt{\frac{30}{a^5}} \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{4\sqrt{15}}{n^3\pi^2}[(-1)^n-1] \end{aligned} \end{equation}
    \begin{equation} w_n= \left\lvert C_n \right\rvert ^2= \left\{\begin{aligned} \end{aligned}\right. \end{equation}
  2. \begin{equation} \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sum^{\infty}_{n=1}C_n\cdot\sin{\frac{n\pi}{a}x}\cdot e^{-\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}t} \end{equation}

3.

   一个体系的哈密顿量是 $H=\frac{P^2_x+(P_y-qB_x)^2+P^2_z}{2m}$,其中 $P_x$,$P_y$,$P_z$ 分别为三个方向的动量算符,求体系的能级和波函数.
解:

\begin{equation} \hat{H}=\frac{P^2_x+(P_y-qB_x)^2+P^2_z}{2m} \end{equation}
$ \left\{P_y,P_z,H \right\} $ 相互对易有共同本征函数.
\begin{equation} \begin{aligned} \psi(x,y,z)&=\psi_{P_y}(y)\psi_{P_z}(z)\psi(x)\\ \psi_{P_y}(y)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}P_{y} \cdot y}\\ \psi_{P_z}(z)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}P_{z} \cdot z} \end{aligned} \end{equation}
本征方程 $\hat{H}\psi(x,y,z)=E\psi(x,y,z) $
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{P^2_x+(P_y-qB_x)^2+P^2_z}{2m}\psi(x,y,z)&=E\psi(x,y,z)\\ \left[\frac{P^2_x}{2m}+\frac{1}{2}m \left(\frac{qB}{m} \right) ^2\cdot \left(x-\frac{P_y}{qB} \right) ^2 \right] \psi(x)&= \left[E-\frac{P^2_z}{2m} \right] \\ \end{aligned} \end{equation}
令 $\omega=\frac{qB}{m}$,$x_0=\frac{P_y}{qB}$,$\epsilon=E-\frac{P^2_z}{2m}$
\begin{equation} \left[\frac{P^2_x}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2(x-x^2_0) \right] \psi(x)=\epsilon\psi(x) \end{equation}
$\epsilon=(n+\frac{1}{2}\hbar\omega),n=0,1,2\dots$
\begin{equation} \psi_n(x-x_0)=N_ne^{-\frac{\alpha^2(x-x_0)^2}{2}}H_n[\alpha(x-x_0)] \end{equation}
所以 $\hat{H}$ 体系能级为 $E=\epsilon+\frac{P^2_z}{2m}=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega ,\quad (n=0,1,2\dots)$.
体系的波函数为:
\begin{equation} \begin{aligned} \psi(x,y,z)&=\frac{1}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{P}_{y}\hat{y}+\hat{P}_{z}\hat{z})}\psi_n(x-x_0)\\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{P}_{y}\hat{y}+\hat{P}_z\hat{z})}\cdot \psi_n(x-\frac{P_y}{qB})\\ &=\frac{1}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{P}_y\hat{y}+\hat{P}_z\hat{z})}\cdot\psi_n(x-\frac{P_y}{qB}) \end{aligned} \end{equation}

4.

   解:在 $H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 体系下,波函数为 $\psi(x)=N_ne^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}H_n(\alpha x) $,能量为 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega \quad n=1,2,3\dots$.
能量一级近似为:

\begin{equation} \begin{aligned} E^{(1)}_n&=\int \psi^*_n(x)H'\psi_n(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\int^{+\infty}_{-\infty}\psi^*_n(x)\cdot x^2\psi_n(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=(n+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{\alpha^2} \end{aligned} \end{equation}
微扰矩阵元 $H'_{nk}$ 为:
\begin{equation} \begin{aligned} H'_{nk}&=\int\psi^*_n(x)H'\psi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\lambda\int^{+\infty}_{-\infty}\psi^*_n(x)x^2\psi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{\lambda}{\alpha^2} \left[\frac{\sqrt{k+(k-1)}}{2}\psi^*_n\cdot\psi_{k-2}+\frac{2k+1}{2}\psi^*_n\cdot\psi_k+\frac{\sqrt{(k+1)(k+2)}}{2}\psi^*_n\cdot\psi_{k+2} \right] \end{aligned} \end{equation}
只有以下三个矩阵元不为 0
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle \psi^{(0)}_{k-2} \right\rvert \lambda x^2 \left\lvert \psi^{(0)}_k \right\rangle &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\cdot\frac{\sqrt{k(k-1)}}{2}=H'_{k-2,k}\\ \left\langle \psi^{(0)}_{k} \right\rvert \lambda x^2 \left\lvert \psi^{(0)}_k \right\rangle &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\cdot\frac{2k(k-1)}{2}=H'_{k,k}\\ \left\langle \psi^{(0)}_{k+2} \right\rvert \lambda x^2 \left\lvert \psi^{(0)}_k \right\rangle &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\cdot\frac{\sqrt{(k+1)(k+2)}}{2}=H'_{k+2,k} \end{aligned} \end{equation}

5.

   解:

  1. 由题可得 $\hat{H}=-g\hat{S}_x\cdot\hat{B}_x=-\frac{g\hbar B_x}{2} \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} $
    设为波函数 $\psi= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} $,能级 $E=\omega\hbar\lambda$,$\omega=-\frac{gB_x}{2}$.
    所以有
    \begin{equation} \omega\hbar \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} =\omega\hbar\lambda \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \end{equation}
    \begin{equation} \begin{vmatrix}-\lambda&1\\1-\lambda\end{vmatrix} =0\quad\Longrightarrow\quad\lambda=\pm1 \end{equation}
    当 $\lambda=1$ 时 $E=\omega\hbar$,$\psi_1=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} $,当 $\lambda=-1$ 时 $E=-\omega\hbar$,$\psi_{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} $.

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