天津大学 2012 年考研量子力学

             

贡献者: Entanglement

1. 30 分

  1. 频率为 $\omega$ 的谐振子处于状态 $\varPsi (x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\varPsi_{0} (x)-\sqrt{\frac{2}{5}}\varPsi_{1} (x)-A\varPsi_2 (x)$,将其归一化,并求能量平均值.
  2. 波函数为什么可以归一化.
  3. 三维空间转子的哈密顿量是 $H=\frac{L^{2}}{2I}$,能量简并度是多少?

2. 30 分

   能量为 $m$ 的粒子,处在区间 $[0,a]$ 无限深势阱中运动,归一化函数为 $\varPsi (x)=x(x-a)\sqrt{\frac{30}{a^{5}}}$.
(1)计算粒子处于某个本征态的概率;
(2)写出任一时刻的波函数.

3. 30 分

   一个体系的哈密顿量是 $H=[p^{2}_{x}+(p_{y}-qB_{x}^{2})+p^{2}_{z}]/2m$,其中 $p_{x}$、$p_{y}$、$p_{z}$ 分别为三个方向动量算符,求体系的能级和波函数.

4. 30 分

   非简谐振子哈密顿量是 $H=H_{0}+H'$,$H_{0}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$,$H'=\lambda x^{2}$,求微扰哈密顿量的矩阵元和能量一级近似.

5. 30 分

   中子的自旋为 $\frac{1}{2}$,磁矩可写为 $gS$,$S$ 为自旋算符.

  1. 一个中子在 $x$ 方向的外磁场 $B$ 中运动,求体系的能级和波函数;
  2. 若三个中子的哈密顿量是 $A(S_{1}+S_{2})\cdot S_{3}$,其中 $A$ 为常数,$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$ 是三个中子的自旋角动量,求体系能级.

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