天津大学 2012 年考研量子力学

贡献者： Entanglement

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1. 30 分

1. 频率为 $\omega$ 的谐振子处于状态 $\varPsi (x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\varPsi_{0} (x)-\sqrt{\frac{2}{5}}\varPsi_{1} (x)-A\varPsi_2 (x)$，将其归一化，并求能量平均值。
2. 波函数为什么可以归一化。
3. 三维空间转子的哈密顿量是 $H=\frac{L^{2}}{2I}$，能量简并度是多少？

2. 30 分

　　 能量为 $m$ 的粒子，处在区间 $[0,a]$ 无限深势阱中运动，归一化函数为 $\varPsi (x)=x(x-a)\sqrt{\frac{30}{a^{5}}}$。
(1)计算粒子处于某个本征态的概率；
(2)写出任一时刻的波函数。

3. 30 分

　　 一个体系的哈密顿量是 $H=[p^{2}_{x}+(p_{y}-qB_{x})^{2}+p^{2}_{z}]/2m$，其中 $p_{x}$、$p_{y}$、$p_{z}$ 分别为三个方向动量算符，求体系的能级和波函数。

4. 30 分

　　 非简谐振子哈密顿量是 $H=H_{0}+H'$，$H_{0}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$，$H'=\lambda x^{2}$，求微扰哈密顿量的矩阵元和能量一级近似。

5. 30 分

　　 中子的自旋为 $\frac{1}{2}$，磁矩可写为 $gS$，$S$ 为自旋算符。

1. 一个中子在 $x$ 方向的外磁场 $B$ 中运动，求体系的能级和波函数；
2. 若三个中子的哈密顿量是 $A(S_{1}+S_{2})\cdot S_{3}$，其中 $A$ 为常数，$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$ 是三个中子的自旋角动量，求体系能级。