天津大学 2012 年考研量子力学

贡献者： Entanglement

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1. 30 分

1. 频率为 $\omega$ 的谐振子处于状态 $\Psi (x)=\frac{1}{\sqrt{5}}{\Psi }_0(x)-\sqrt{\frac{2}{5}}{\Psi }_1(x)-A{\Psi }_2(x)$，将其归一化，并求能量平均值。
2. 波函数为什么可以归一化。
3. 三维空间转子的哈密顿量是 $H=\frac{L^2}{2I}$，能量简并度是多少？

2. 30 分

　　 能量为 $m$ 的粒子，处在区间 $[0,a]$ 无限深势阱中运动，归一化函数为 $\Psi (x)=x(x-a)\sqrt{\frac{30}{a^5}}$。
(1)计算粒子处于某个本征态的概率；
(2)写出任一时刻的波函数。

3. 30 分

　　 一个体系的哈密顿量是 $H=[p_x^2+(p_y-q{B}_x{)}^2+p_z^2]/2m$，其中 $p_x$、$p_y$、$p_z$ 分别为三个方向动量算符，求体系的能级和波函数。

4. 30 分

　　 非简谐振子哈密顿量是 $H=H_0+H^{\prime }$，$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$，$H^{\prime }=\lambda x^2$，求微扰哈密顿量的矩阵元和能量一级近似。

5. 30 分

　　 中子的自旋为 $\frac{1}{2}$，磁矩可写为 $gS$，$S$ 为自旋算符。

1. 一个中子在 $x$ 方向的外磁场 $B$ 中运动，求体系的能级和波函数；
2. 若三个中子的哈密顿量是 $A(S_1+S_2)\cdot S_3$，其中 $A$ 为常数，$S_1$、$S_2$、$S_3$ 是三个中子的自旋角动量，求体系能级。