天津大学 2011 年考研量子力学答案

贡献者： 叶月2_

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1.

1. 根据题意有：
   $$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}Ax{\psi }_n(x)& =\frac{A}{\alpha }[\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x)]\\ & =\frac{A}{\alpha }\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)+\frac{A}{\alpha }\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x).\end{array}\end{array}$$
   则归一化系数 $A$ 有：
   $$\begin{array}{}\text{(2)}& (\frac{A^2}{{\alpha }^2}\frac{n}{2}+\frac{A^2}{{\alpha }^2}\frac{n+1}{2}=1)\Rightarrow A=\sqrt{\frac{2{\alpha }^2}{2n+1}}.\end{array}$$

2.

1. $\hat{A}=(\hat{F}+{\hat{F}}^{†}),\hat{B}=\mathrm{i}(\hat{F}-{\hat{F}}^{†})$
2. 由于 $[{\hat{L}}_i,{\hat{L}}_j]=\mathcal{i}{ϵ}_{ijk}{\hat{L}}_k$，设 $|x⟩$ 为角动量分量算符的本征态，则我们有：
   $$\begin{array}{}\text{(3)}& ⟨x|{\hat{L}}_i{\hat{L}}_j|x⟩-⟨x|{\hat{L}}_j{\hat{L}}_i|x⟩=\mathcal{i}{ϵ}_{ijk}⟨x|{\hat{L}}_k|x⟩.\end{array}$$
   设 ${\hat{L}}_i|x⟩=\lambda |x⟩$，代入上式后可得 $\overline{{\hat{L}}_k}=0$。$j$ 与 $k$ 对换后又可得 $\overline{{\hat{L}}_j}=0$。因为 $i$ 为任意分量，证毕。
3. 由于 $e^{\mathcal{i}\alpha {\hat{\sigma }}_y}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\mathcal{i}\alpha {\hat{\sigma }}_y{)}^{2k}}{(2k)!}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\mathcal{i}\alpha {\hat{\sigma }}_y{)}^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(\alpha {)}^{2k}}{(2k)!}+\mathcal{i}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(\alpha {)}^{2k+1}{\hat{\sigma }}_y}{(2k+1)!}=\hat{A}+i{\hat{\sigma }}_y\hat{B}$，所以 $\hat{A}=cos\alpha ,\hat{B}=sin\alpha$。

3.

4.

5.