天津大学 2011 年考研量子力学

贡献者： Entanglement

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1.

1. 质量为 $m$，频率为 $\omega$ 的谐振子，初始时刻处于状态 $Ax\varPsi_{n}(x)$，求归一化系数 $A$，任意时刻的波函数以及坐标的平均值。
2. 写出历史上确定光的波粒二象性的主要实验，指出至少两个可以验证实物粒子具有波动性的实验。

2.

1. 设 $\hat{F}$ 是任意一个算符，尝试用其构造两个厄米算符。
2. 利用角动量各分量 $\hat{L}_{x}$，$\hat{L}_{y}$，$\hat{L}_{z}$ 之间的对易关系，证明：在任意分量的本征态下，其他两个分量的平均值为 0.
3. 将指数 $e^{i\alpha \sigma_{y}}$ 算符写成 $A+i\sigma_{y}B$ 的形式，求出常数 $A$，$B$ 与 $\alpha$ 的关系。

3.

　　 质量为 $m$ 的粒子在一维势场 $V_{x}= \left\{\begin{aligned} & 0 \quad \frac{a}{2}\leq x \leq a\\ & bx \quad 0\leq x\leq\frac{a}{2}\\ &\infty \quad x<0,x>a \end{aligned}\right. $ 中运动。

1. 写出微扰哈密顿量。
2. 求能量至二级修正，波函数至一级修正。

4.

　　 质量为 $m$ 的粒子被限制在两个无限大平行板之间运动，设两个无限大平板间距为 $d$ 求体系的能级和波函数。

5.

　　 中子的自旋是 $\frac{1}{2}$，磁矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} =g\cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} $，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 是自旋算符，$g$ 是常数。

1. 若两个中子间有自旋相互作用 $a \boldsymbol{\mathbf{S_1}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S_2}} $，其中 $a$ 是常数，$ \boldsymbol{\mathbf{S_1}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{S_2}} $ 分别是两个中子的自旋角动量，求体系的能级和波函数。
2. 若三个中子的相互作用哈密顿为 $a( \boldsymbol{\mathbf{S_{1}}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S_{2}}} + \boldsymbol{\mathbf{S_{2}}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S_{3}}} + \boldsymbol{\mathbf{S_{3}}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S_{1}}} )$，其中 $a$ 是常数，$ \boldsymbol{\mathbf{S_{3}}} $ 是第三个中子的自旋角动量，求体系的能级（只在自旋空间运算）。