华中师范大学 2012 年 考研 量子力学

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1. 选择题(共 18 分，每小题 3 分)

　　 1.在给定的状态 $\psi(x,t)$ 中 “测量” 粒子的坐标 $\underline{\hspace{2cm}}$
A、测量” 使得 $\psi(x,t)$ 不再按照薛定谔方程演化
B、测量” 使得微观粒子不在任何位置
C、“测量” 使得微观粒子的坐标越精确动量就越精确
D、“测量” 使得 $\psi(x,t)$ 突然和不连续的坍塌

2.坐标对时间导数的算符是 $\underline{\hspace{2cm}}$
A、坐标算符
B、动量算符
C、速度算符
D、角动量算符

3.设质量为 $m$ 粒子的两个本征函数分别是 $\psi_1(x) = c_1e^{-ax^2/2}$，$\psi_2(x) = c_2(x^2+b)e^{-ax^2}$，则粒子这两状态的能级间隔为 $\underline{\hspace{2cm}}$
A、$-\hbar^2/mb$
B、$-\hbar^2/(mb)^2$
C、$-\hbar/mb$
D、$\hbar^2/(mb)^2$

4.对于任意的 $\mathbf{a}$，若 $(\mathbf{a}|\mathbf{b}) = (\mathbf{a}|\mathbf{c})$，则 $\underline{\hspace{2cm}}$
A、$\mathbf{b} \ne \mathbf{c}$
b、$\mathbf{b} = \mathbf{c}$
c、$(\mathbf{a}| \mathbf{b}) = (\mathbf{a}| \mathbf{c})$
D、$(\mathbf{a}| = \mathbf{b})$

5.在一维情况下，若 $U(x) \text{连续}, U(\pm \infty) = 0$ 且 $U(x) < 0$，则该体系 $\underline{\hspace{2cm}}$

A、两个束缚态
B、无束缚态
C、一个束缚态
D、至少存在一个束缚态

6.微观体系存在任意态 $\psi(x)$ 中，能量的平均值 $\bar{E}\underline{\hspace{2cm}}$
A、$\leq$ 体系的基态能量
B、没有确定值
C、$\geq$ 体系的基态能量
D、= 体系的基态能量

2. 问答题（共 32 分，每小题 8 分）

1. 试论述量子力学的基本假设。
2. 量子力学在描述体系运动时，可以选择不同的绘景和不同的表象，试分别论 述薛定谔绘景和海森伯绘景及其特点。
3. $A$ 是一个守恒量，但并不一定意味着它在任意状态中都取确定的值，这是为 什么？
4. 如何理解微观粒子的波粒二象性？

3. 计算题（共 50 分，每小题 25 分）

1. 一维无限深势阱中的粒子受到 $H' = bx$ 作用（其中 $b$ 为常数），求能级和波函 数的一级修正。
2. 设体系的哈密顿量为 \[ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + H'(t)~ \] 其中 \[ \hat{H}_0 \psi_k^{(0)}(x) = E_k^{(0)} \psi_k^{(0)}(x)~ \] $k=1.2..$,求微扰 \[ \hat{H}'(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ \hat{A} \cos\left(\omega t\right) , & t \geq 0 \end{cases}~ \] 作用下，体系的跃迁概率。

4. 证明题（共 50 分，每小题 25 分)

1. 能量为 $E$ 的粒子沿 $x$ 轴正向射入到一维势场 \[ U(x) = \begin{cases} U_0, & 0 < x < a \\ 0, & x < 0 , x > a \end{cases}~ \] 其中 $U_0 > 0$。 证明在 $E > U_0$ 的情况下，粒子的反射系数 $R$ 和透射系数 $D$ 满足：$D + R = 1$。
2. 证明在任何状态中，守恒量取各种的概率分布不随时间而变。