华中师范大学 2012 年 考研 量子力学

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1. 选择题(共 18 分，每小题 3 分)

　　 1.在给定的状态 $\psi (x,t)$ 中 “测量” 粒子的坐标 $\underset{―}{}$
A、测量” 使得 $\psi (x,t)$ 不再按照薛定谔方程演化
B、测量” 使得微观粒子不在任何位置
C、“测量” 使得微观粒子的坐标越精确动量就越精确
D、“测量” 使得 $\psi (x,t)$ 突然和不连续的坍塌

2.坐标对时间导数的算符是 $\underset{―}{}$
A、坐标算符
B、动量算符
C、速度算符
D、角动量算符

3.设质量为 $m$ 粒子的两个本征函数分别是 ${\psi }_1(x)=c_1{e}^{-a{x}^2/2}$，${\psi }_2(x)=c_2(x^2+b)e^{-a{x}^2}$，则粒子这两状态的能级间隔为 $\underset{―}{}$
A、$-{\hslash }^2/mb$
B、$-{\hslash }^2/(mb{)}^2$
C、$-\hslash /mb$
D、${\hslash }^2/(mb{)}^2$

4.对于任意的 $\mathbf{a}$，若 $(\mathbf{a}|\mathbf{b})=(\mathbf{a}|\mathbf{c})$，则 $\underset{―}{}$
A、$\mathbf{b}\ne \mathbf{c}$
b、$\mathbf{b}=\mathbf{c}$
c、$(\mathbf{a}|\mathbf{b})=(\mathbf{a}|\mathbf{c})$
D、$(\mathbf{a}|=\mathbf{b})$

5.在一维情况下，若 $U(x)\text{连续},U(\pm \mathrm{\infty })=0$ 且 $U(x)<0$，则该体系 $\underset{―}{}$

A、两个束缚态
B、无束缚态
C、一个束缚态
D、至少存在一个束缚态

6.微观体系存在任意态 $\psi (x)$ 中，能量的平均值 $\overline{E}\underset{―}{}$
A、$\le$ 体系的基态能量
B、没有确定值
C、$\ge$ 体系的基态能量
D、= 体系的基态能量

2. 问答题（共 32 分，每小题 8 分）

1. 试论述量子力学的基本假设。
2. 量子力学在描述体系运动时，可以选择不同的绘景和不同的表象，试分别论 述薛定谔绘景和海森伯绘景及其特点。
3. $A$ 是一个守恒量，但并不一定意味着它在任意状态中都取确定的值，这是为 什么？
4. 如何理解微观粒子的波粒二象性？

3. 计算题（共 50 分，每小题 25 分）

1. 一维无限深势阱中的粒子受到 $H^{\prime }=bx$ 作用（其中 $b$ 为常数），求能级和波函 数的一级修正。
2. 设体系的哈密顿量为 $$\hat{H}(t)={\hat{H}}_0+H^{\prime }(t)$$ 其中 $${\hat{H}}_0{\psi }_k^{(0)}(x)=E_k^{(0)}{\psi }_k^{(0)}(x)$$ $k=1.2..$,求微扰 $${\hat{H}}^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ \hat{A}\cos \left(\omega t\right),& t\ge 0\end{array}$$ 作用下，体系的跃迁概率。

4. 证明题（共 50 分，每小题 25 分)

1. 能量为 $E$ 的粒子沿 $x$ 轴正向射入到一维势场 $$U(x)=\{\begin{array}{ll}{U}_0,& 0<x<a\\ 0,& x<0,x>a\end{array}$$ 其中 $U_0>0$。 证明在 $E>U_0$ 的情况下，粒子的反射系数 $R$ 和透射系数 $D$ 满足：$D+R=1$。
2. 证明在任何状态中，守恒量取各种的概率分布不随时间而变。