SymPy 符号计算笔记

贡献者： addis

　　 为了书写方便，本文使用 from sympy import *。所有的变量都假设用 sympy.symbols() 声明过。

1. 基础

• 参考文档。
• import sympy as sm
• x0, x1 = sm.symbols('x0, x1') 声明变量，类型为 sympy.core.symbol.Symbol
• x, y, z = sm.symbols('x:z')，x4, x5, x6, x7 = symbols('x4:8')
• 常数如 pi, E, I, oo（无穷）
• 整数为 numer(n)，类型为 sympy.core.numbers.Integer，也可能是 sympy.core.numbers.One
• 有理数 Rational(n,m)。如果 n, m 已经是 numbers.Integer 类型，也可以直接 n/m
• 虚数单位 I 的类型是 sympy.core.numbers.ImaginaryUnit，其他虚数和复数都没有专门的类型而是 I 和其他实数相乘相加。
• 函数如 sin(), asin(), sinh(), exp(), log(), sqrt()
• latex(表达式) 可以把表达式转换为 latex 代码。
• 表达式.subs(符号, 表达式或值) 替换表达式中的符号
• 表达式.subs({符号1:表达式或值1, 符号2:表达式或值2}) 替换多个符号
• sympify() 可以把任意表达式变为 sympy 能处理的类型。

检查表达式结构

• 虽然表达式的类型有很多，但都有 args 参数。
• 例如令 expr = sin(x)**2 + cos(x)**2，那么 expr 的类型是 sympy.core.add.Add，expr.args 是 (cos(x)**2, sin(x)**2)。expr.args[0] 的类型是 sympy.core.power.Pow，expr.args[0].args 是 (cos(x), 2)，以此类推。这样就可以生成一个树状结构。

2. 基本运算

• summation(含i的表达式, (i, 第一个, 最后一个))（注意求和包含 最后一个 的项），例如 summation(1/2**n, (n, 1, 2))) 得 3/4，又例如 summation(1/2**n, (n, 1, oo)) 得 1。
• product(含i的表达式, (i, 第一个, 最后一个)) 同理

3. 线性代数

• 矩阵 mat = Matrix([[x**2, sin(x)], [1, 1/y]])，类型为 sympy.matrices.dense.MutableDenseMatrix
• mat[i,j] 获取矩阵元。
• Matrix 永远是二维的，行主序，mat[i] 返回单个矩阵元而不是像 numpy 一样返回一行。
• mat[:,j] 获取一列，类型还是一样。
• 其他一些操作和NumPy 数组类似，如 len(mat) 获取元素个数，shape(mat) 或者 mat.shape 获取形状。又如 Matrix([1,2]) 的形状是 (2,)，而 Matrix([[1,2]]) 的形状是 (1,2)。
• Matrix(Numpy矩阵) 也可以生成 sympy 矩阵。
• mat.norm() 返回 2-norm，mat.norm(n) 返回 n-norm。
• 矩阵乘法用 mat1 * mat2
• 点乘 dot(v1, v2)
• mat.eigenvals() 求本征值，返回一个字典，表达式:简并重数。mat.eigenvals(multiple=true) 返回一个 list，可能包含重复的表达式。说明见 help(mat.eigenvals)
• mat.eigenvects() 求本征值和本征矢，返回 tuple 的 list：[(本征值, 简并数, 本征空间), ...]

4. 微积分

• 极限如 limit(sin(x)/x, x, 0)
• 求导如 diff(sin(x)**2, x)
• 积分如 integrate(exp(x)*(sin(x) + cos(x)), x)
• 格式为 integrate(表达式, (x, 下限, 上限))
• 微分方程 dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))

5. 任意精度求值

• 通过 mpmath 库完成任意精度计算（和 arb 是同一个作者，但是完全用 python 编写）
• N(表达式, 有效数字) 对表达式求值，例如 N(pi, 50)，N(sin(numer(1)), 50)