Python 符号计算

                     

贡献者: shizy0808

1. 什么是符号计算?

   符号计算又称计算机代数,通俗地说就是用计算机推导数学公式,如对表达式进行因式分解、化简、微分、积分、解代数方程、求解常微分方程等.在 SciPy 数值微分与积分部分我们已经介绍了如何利用 python 实现相关数值计算,这里面我们将进一步介绍符号计算在 python 中的实现.那么数值计算与符号计算有什么区别与联系呢?个人认为:首先在数值计算过程中,所有出现的 变量 或者 参数 在使用之前必须给定具体取值,并且计算结果大多数是近似的;相反的是,在符号计算过程中,变量可以预先不给定取值,计算结果是准确的,解析的.不太准确的表述为:符号计算就是对表达式进行的操作;数值计算是对数据进行的操作.

2. scipy 库

   在 python 中,专门进行符号计算的库是 sympy(symbol python 的简写).利用这个库可以进行符号表达式的加减乘除等四则运算、符号化简、求导、积分、极限、解方程(组)、解微分方程(组)等等.下面我们将进行逐一介绍.

符号变量的定义

   我们首先导入 sympy 库:

import sympy as sy
为了代码简洁,后面默认在代码之前均引入了这个库.例如 定义单个变量
x0 = sy.symbols('x0')
同时定义多个变量
x0 = sy.symbols('x0')
x1 = sy.symbols('x1')
这样定义理论上没有问题,但是显得繁琐.上述梁行代码可以改写为
x0, x1 = sy.symbols('x0, x1')
对于多个变量的定义方法类似,这里不再赘述.需要说明的是 sy.symbols('x0, x1') 中的 , 用空格隔开也是可以的.即 sy.symbols('x0, x1')=sy.symbols('x0 x1')

   当定义多个连续变量时,也可以这样

x, y, z = sy.symbols('x:z')
x4, x5, x6, x7 = sy.symbols('x4:8')
注意不包括 x8.

符号常量与函数

   sympy 库中预置了许多常量:圆周率 $\pi$,自然常数 $e$,无穷大 $\infty$,虚数单位 $i$ 等等.它们分别为

sy.pi sy.E sy.I sy.oo
里面也有许多常用函数,比如 $sin(x), arcsin(x), sinh(x), e^x, log(x),\sqrt{x}$.对应 python 代码为:
sy.sin() sy.asin() sy.sinh() sy.exp() sy.log() sy.sqrt()
上面只是列举了部分函数与常量,sympy 库只能还有非常多,感兴趣的读者可以参考官方文档https://docs.sympy.org/latest/index.html 另外需要注意的是,sympy 中的符号不能与 numpy,scipy 中的复合混用,否则会报错,例如
>>> import numpy as np
>>> x = sy.symbols('x')
>>> np.exp(x) # 尝试用numpy来计算exp(x),注意此处x是符号变量.
此处返回错误
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
AttributeError: 'Symbol' object has no attribute 'exp'
正确的用法为
>>> sy.exp(x) # Use SymPy's version instead.
exp(x)
我们在看这个例子
>>> x = sy.symbols('x')
>>> (2/3) * sy.sin(x) # 2/3 返回一个浮点数而不是有理数.
0.666666666666667*sin(x)
>>> sy.Rational(2, 3) * sy.sin(x) #为了使2/是一个有理数需要使用Rational
2*sin(x)/3
为了巩固上面符号计算的一些细节我们来做一个练习.

例 1 

   用 sympy 库的函数写一个函数返回如下表达式:

\begin{align} \frac{2}{5}e^{x^2-y}cosh(x+y)+\frac{1}{2}log(xy+1) \end{align}

   对应代码如下

def cal()
   x, y  = sm.symbols('x,y')
   express = sy.Rational(2,5)*sm.exp(x**2-y)*\
   sm.cosh(x+y)+Rational(1,2)*sm.log(x*y+1)
   return express

符号加与符号乘运算

   利用 sympy 计算 $\sum_{i=1}^4{x+iy}$ 与 $\prod_{i=1}^5{x+iy}$

>>> x, y, i = sy.symbols('x y i')#定义三个符号变量
>>> sy.summation(x + i*y, (i, 1, 4)) #求和
4*x + 10*y
>>> sy.product(x + i*y, (i, 0, 5)) #求积
x*(x + y)*(x + 2*y)*(x + 3*y)*(x + 4*y)*(x + 5*y)

符号表达式化简

表1:常用的化简函数
sm.cancel() 分子分母化简
sm.expand() 展开表达式
sm.factor() 因式分解表达式
sm.radsimp() 分母有理化
sm.simplify() 化简表达式
sm.trigsimp() 仅仅化简表达式的三角函数部分

   例如,化简表达式

>>> x = sm.symbols('x')
>>> expr = (x**2 + 2*x + 1) / ((x+1)*((sy.sin(x)/sy.cos(x))**2 + 1))
>>> print(expr)
(x**2 + 2*x + 1)/((x + 1)*(sin(x)**2/cos(x)**2 + 1))
>>> sm.simplify(expr)#化简表达式
(x + 1)*cos(x)**2

   展开表达式

>>> expr = sm.product(x + i*y, (i, 0, 3))
>>> print(expr)
x*(x + y)*(x + 2*y)*(x + 3*y)
>>> expr_long = sm.expand(expr) # 展开表达式
>>> print(expr_long)
x**4 + 6*x**3*y + 11*x**2*y**2 + 6*x*y**3

   约分表达式

>>> expr_long =expr_long/ (x + 3*y)
>>> expr_short = sm.cancel(expr_long) # Cancel out the denominator.
x**3 + 3*x**2*y + 2*x*y**2

   因式分解

>>>sm.factor(expr_short) 
x*(x + y)*(x + 2*y)

   三角函数化简

>>> sm.trigsimp(2*sm.sin(x)*sm.cos(x))
sin(2*x)
需要说明的是以上各种表达式化简不会改变原有表达式.

替换与计算表达式

   sympy 库中提供了表达式替换函数 subs 与计算函数 evalf,它的用法为

# 定义两个符号变量
>>> x,y = sy.symbols('x y')
>>> expr = sy.expand((x + y)**3)
>>> print(expr)
x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3
# 用2*x替换原来表达式中的y
>>> expr.subs(y, 2*x)
27*x**3
#同时替换多个变量
>>> new_expr = expr.subs({x:sy.pi, y:1})
>>> print(new_expr)
1 + 3*pi + 3*pi**2 + pi**3
# 将符号计算转为数值计算
>>> new_expr.evalf() 
71.0398678443373
>>> expr.evalf(subs={x:1, y:2})
27.0000000000000
另外,sympy 库还提供了函数 lambdify 函数,此函数相当于匿名函数,它的用法是
sm.lambdify(变量或变量列表, 符号表达式)
例如
# 定义单个符号变量
>>> f = sm.lambdify(x, sy.sin(x)**2)
>>> print(f(0), f(np.pi/2), f(np.pi), sep=' ')
0.0 1.0 1.4997597826618576e-32
# 定义多个符号变量
>>> f = sm.lambdify((x,y), sm.sin(x)**2 + sm.cos(y)**2)
>>> print(f(0,1), f(1,0), f(np.pi, np.pi), sep=' ')
0.2919265817264289 1.708073418273571 1.0
仔细的观察我们发现,虽然我们定义的是符号变量与符号表达式,但是该函数返回值是浮点型数据.默认情况下,lambdify 函数调用了 math 模块,也就是说 sm.sin() 被转化为 math.sin().

符号方程(组)求解

   sympy 库中提供了 solve 函数进行方程的求解,它的用法为

sm.solve(表达式,求解变量)
它的返回值是列表形式.例如
# 定义两个符号变量x y
>>> x,y = sm.symbols('x y')
# 求解方程 x^2 - 2x + 1 = 0,在第一个参数中不需要写都等于0
>>> sm.solve(x**2 - 2*x + 1, x)
[1] 
#求解x^2 - 1 = 0
>>> sm.solve(x**2 - 1, x)
[-1, 1]
>>> sm.solve(x/(y-x) + (x-y)/y, x)
[y*(-sqrt(5) + 3)/2, y*(sqrt(5) + 3)/2]
#求解方程组
>>> sm.solve([x + y - 1,x - y -3],[x,y])
 {x: 2, y: -1}

   利用 solve_linear_system 求解线性方程组,例如

\begin{align} x+y+z=5 \\ 2 x+4 y+3 z=2 \\ 5 x+10 y+2 z=4 \end{align}

   对应的代码为:

>>> x, y, z = sm.symbols('x y z')
# 首先写出系数增广矩阵
>>> M = sy.Matrix([ [1, 1, 1, 5],
[2, 4, 3, 2],
[5, 10, 2, 4] ])
# 调用函数
>>> sm.solve_linear_system(M, x, y, z)
{x: 98/11, y: -45/11, z: 2/11}
# 它的返回值为字典类型.

符号求导

   sympy 提供了两种方法计算符号表达式的导数,分别为 sm.Derivative()sm.diff(),用法为:

>>> x, y = sy.symbols('x y')
>>> f = sy.sin(y)*sy.cos(x)**2
# 对符号变量x求导
>>> df = sy.Derivative(f, x)
>>> print(df)
Derivative(sin(y)*cos(x)**2, x)
# Derivative与doit结合使用才能实际求导,
# Derivative只返回一个形式导数
>>> df.doit() 
-2*sin(x)*sin(y)*cos(x)
# diff方法直接求导
>>> sy.diff(f, x)
-2*sin(x)*sin(y)*cos(x)
# 分别对x,y,x进行多次求导
>>> sy.diff(f, x, y, x)
2*(sin(x)**2 - cos(x)**2)*cos(y) # N

符号积分

   sympy 提供了两种方法计算符号表达式的积分,分别为 Integral()sm.integrate(),这两个方法与求导的两种方法一一对应.用法为:

# 计算不定积分
>>> sy.integrate(sy.sec(x), x)
-log(sin(x) - 1)/2 + log(sin(x) + 1)/2
# 计算定积分
>>> sy.integrate(sy.cos(x)**2, (x,0,sy.pi/2))
pi/4
#计算多重积分
>>> sy.integrate(y**2 * x**2, (x,0,2), (y,-1,1))
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