完备公理（戴德金分割）

贡献者： DTSIo

　　 从这里开始，我们将不再区分有理数和由有理数确定的戴德金分割。

　　 通过戴德金分割，我们得以填补有理数集中的"空隙", 从而得到了实数集。纯粹从四则运算的角度，还不能看出实数与有理数之间有何区别。然而如果引入一些超出四则运算范围的操作，即可看出实数与有理数的决定性区别：实数集是完备（complete） 的，或者模糊地说，实数集里"没有空隙".

1. 完备公理

　　 怎么刻画"不存在缝隙"这样的直观特性呢？

　　 仍旧以数 $\sqrt{2}$ 为例。我们记得这个数的下类是 $L=\{l\leq0\}\cup\{l>0:l^2<2\}$, 上类是 $R=\{r>0:r^2>2\}$. $L$ 和 $R$ 的并集就是有理数集 $\mathbb{Q}$, 而由于 2 并非任何有理数的平方，因此 $L$ 和 $R$ 之间"空无一物", 分割 $L|R$ 并不是由一个实际存在的分点确定的。但实数集却与此不同：在区间 $(-\infty,\sqrt{2})$ 和 $(\sqrt{2},+\infty)$ 之间的确存在着一个分点 $\sqrt{2}$.

　　 一般来说，如果像定义戴德金分割那样对实数集 $\mathbb{R}$ 进行操作，那么得不到任何新的对象：每一个这样的分割都必定是由一个分点确定的。 实际上，如果将实数集 $\mathbb{R}$ 分成不相交的两部分 $A\cup B$, 满足

1. 如果 $a\in A$, 那么任何小于 $a$ 的实数 $a'$ 都属于 $A$.
2. 如果 $b\in B$, 那么任何大于 $b$ 的实数 $b'$ 都属于 $B$.
3. 如果 $a\in A$, $b\in B$, 那么必有 $a\leq b$.
4. $A$ 不包含最大的元素;

　　 那么 $L=A\cap\mathbb{Q}$ 满足戴德金分割下类的定义，从而 $R=B\cap\mathbb{Q}$ 自动满足分割上类的定义，于是 $L|R$ 自动成为一个戴德金分割，它自然就确定了一个实数 $x$. 这个实数 $x$ 自然就是"分割"$A\cup B$ 的分点，它满足如下的性质：

　　 对于 $a\in A$, $b\in B$, 总有 $a\leq x\leq B$. 而且，实际上更有 $A=(-\infty,x)$, $B=[x,+\infty)$.

　　 仿照这个思路，我们便能证明如下的定理：

　　 上面的这个性质"两个集合中间一定有一个元素"被称作"完备公理" (the axiom of completeness).

2. 实数的公理刻画

　　 在得到了完备公理后，我们便可以给出实数集合的公理刻画了。

　　 我们称一个带有二元运算 $+$, $\cdot$ 和序关系 $<$ 的集合 $\mathfrak{R}$ 为一个实数模型，如果上述运算和序关系满足下列一组公理：

阿贝尔群公理

• 交换律：对于任何 $x,y\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x+y=y+x$.
• 结合律：对于任何 $x,y,z\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x+(y+z)=(x+y)+z$.
• 零元素：存在一个元素 $0\in \mathfrak{R}$ 使得对于任何 $x,y\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x+0=x$.
• 负元素：对于任何 $x\in\mathfrak{R}$, 都存在它的负元素 $-x\in\mathfrak{R}$ 使得 $x+(-x)=0$.

域公理

• 交换律：对于任何 $x,y\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x\cdot y=y\cdot x$.
• 结合律：对于任何 $x,y,z\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$.
• 分配律：对于任何 $x,y,z\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.
• 单位元：存在元素 $1\in\mathfrak{R}$, 使得对于任何 $x\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x\cdot 1=x$.
• 逆元素：对于任何不等于 0 的 $x\in\mathfrak{R}$, 都存在 $x^{-1}\in\mathfrak{R}$ 使得 $x^{-1}\cdot x=1$.

全序公理

• 任意二元素 $x,y\subset\mathfrak{R}$ 之间有且仅有下列三种关系之一：$x< y$, $x=y$, $x>y$.
• 如果 $x,y,z\in\mathfrak{R}$ 且有 $x< y$, $y< z$, 那么 $x< z$.
• 如果 $x,y\in\mathfrak{R}$ 且 $x< y$, 那么对于任何 $z\in\mathfrak{R}$ 皆有 $x+z< y+z$.
• 如果 $x,y\in\mathfrak{R}$ 且 $x< y$, 那么对于任何 $z>0$ 皆有 $x\cdot z< y\cdot z$.

完备公理

• 设 $A,B\subset\mathfrak{R}$, 使得对于任意 $a\in A$ 和任意 $b\in B$ 皆有 $a\leq b$, 那么存在元素 $c\in\mathfrak{R}$ 使得对于任意 $a\in A$ 和任意 $b\in B$ 皆有 $a\leq c\leq b$.

　　 从中学课本已经知道，可以用各种不同的方式来表示实数，例如十进制小数，但这些表示是相互等价的。严格地来说，这就是如下定理：

　　 在这里，"同构" (isomorphic) 的意思是说：如果 $\mathfrak{R}_1$ 和 $\mathfrak{R}_2$ 是两个实数模型，那么存在一个双射 $f:\mathfrak{R}_1\to \mathfrak{R}_2$, 使得 $f$ 保持元素之间的加法和乘法运算（即 $f$ 是域同构）, 而且还保持序关系。