陕西师范大学 2013 年 考研 量子力学

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1. 填空(每小题 3 分，共 30 分)

1. 根据德布罗意假设，对于一定能量 $E$ 和一定动量 $p$ 的粒子，与它相联系的是频率为 $\nu$，波长为 $\lambda$ 的平面波，它们之间的关系为 $E = \underline{\hspace{2cm}}$，$p = \underline{\hspace{2cm}}$。
2. 泡利算符的对易关系是 $\hat \sigma_x \hat \sigma_y - \hat \sigma_y \hat \sigma_x = \underline{\hspace{2cm}}$，泡利算符的反对易关系是 $\hat \sigma_x \hat \sigma_y + \hat \sigma_y \hat \sigma_x = \underline{\hspace{2cm}}$。
3. 氢原子态函数波函数 $\psi_{311} = R_{31}(r) Y_{11}(\theta, \varphi)$ 所描述的态，其轨道角动量的长度为 $\underline{\hspace{2cm}}$，轨道角动量在 z 轴上的投影为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
4. 力学量 $F$ 的本征值方程 $\hat F\psi = F\psi$ 中，如果对 $\hat F$ 的一个本征值，有 $f$ 个相互独立（线性无关）的本征函数数，我们就说该本征值 $F$ 是 $\underline{\hspace{2cm}}$ 的，简并度为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
5. 在动力学表达式中，动量算符的本征方程表示为 $\underline{\hspace{4cm}}$，坐标算符的本征方程表示为 $\underline{\hspace{4cm}}$。
6. $n$ 个全同粒子组成的体系中，不能有两个或两个以上的粒子处于 $\underline{\hspace{2cm}}$，这就是泡利不相容原理。
7. 湮灭算符 $\hat a$ 作用于谐振子的第 $n$ 个本征态上的结果为 $\hat a\psi_n = \underline{\hspace{3cm}}$。
   湮灭算符 $\hat a = \left( \frac{\mu \omega}{2\hbar} \right)^{2} \left(\hat x + \frac{i}{\mu \omega} \hat{p} \right)$ 的共轭算符是 $\underline{\hspace{6cm}}$。
8. 不考虑相对论效应及自旋轨道耦合，氢原子的能级只依赖于 $\underline{\hspace{1cm}}$ 量子数；考虑相对论效应及自旋轨道耦合后（不考虑实验值修正），氢原子的能级依赖于 $\underline{\hspace{1cm}}$ (填 a 或 b 或 c)。
   (a) $n, l$; (b) $n, l$; (c) $n, j$。
9. 对任意两个波函数 $\psi, \phi$，如算符 $\hat{F}$ 满足下述关系 $\underline{\hspace{7cm}}$ 则算符 $\hat{F}$ 称为厄米算符。
10. 当粒子能量低于势垒高度时，粒子仍有可能透过势垒，这种现象称为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

2. (20 分)

　　 设一维线性谐振子在 $t = 0$ 时的状态为 \[ |\psi(t=0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}~ \]

1. 计算 $t = 0$ 时，能量的平均值 $\overline E$。
2. 在 $t$ 时刻求 $\overline P(t) = \langle \psi(t) | \hat{P} | \psi(t) \rangle$，已知在能量表象中， \[ P = \frac{1}{i} \left(\frac{\hbar \omega \mu}{2}\right)^{1/2} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \dots \\ -\sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots \\ 0 & -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & \dots \\ 0 & 0 & -\sqrt{3} & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix}~ \]

3. (20 分)

　　 定义总角动量算符 $\hat{J} = \hat{L} + \hat{S}$，其中 $\hat{L}$ 为轨道角动量算符，$\hat{S}$ 为自旋角动量算符。

1. 证明 $\hat{J}$ 与 $\hat{L}$、$\hat{S}$ 对易。
2. 在耦合表象中，列举当 $l=1$ 及 $s=\frac{1}{2}$ 时所有的基矢。

4. (30 分)

　　 已知在 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$ 的共同表象中，在 $l=1$ 的子空间中，算符 $\hat{L}_y$ 的矩阵表示为 \[ L_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}~ \] 求 $L_y$ 的本征值和归一化的本征函数，并将 $L_y$ 对角化。

5. (10 分)

　　 根据光速 $c$ 有限及能量时间的测不准关系，估计正负电子对发生湮灭的最长距离。(可能用到的常数：$\hbar c = 197 \, \text{eV} \cdot \text{nm}$，电子质量 $m_e c^2 = 0.511 \times 10^6 \, \text{eV}$)

6. (20 分)

　　 一体系由三个全同的致色子组成，致色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

7. (20 分)

　　 转动惯量为 $I$，电偶极矩为 $D$ 的空间转子处在均匀电场 $\varepsilon$ 中，如果电场较小,用微扰法求转子基态能量到二级修正。