陕西师范大学 2013 年 考研 量子力学

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1. 填空(每小题 3 分，共 30 分)

1. 根据德布罗意假设，对于一定能量 $E$ 和一定动量 $p$ 的粒子，与它相联系的是频率为 $\nu$，波长为 $\lambda$ 的平面波，它们之间的关系为 $E=\underset{―}{}$，$p=\underset{―}{}$。
2. 泡利算符的对易关系是 ${\hat{\sigma }}_x{\hat{\sigma }}_y-{\hat{\sigma }}_y{\hat{\sigma }}_x=\underset{―}{}$，泡利算符的反对易关系是 ${\hat{\sigma }}_x{\hat{\sigma }}_y+{\hat{\sigma }}_y{\hat{\sigma }}_x=\underset{―}{}$。
3. 氢原子态函数波函数 ${\psi }_{311}=R_{31}(r)Y_{11}(\theta ,\phi )$ 所描述的态，其轨道角动量的长度为 $\underset{―}{}$，轨道角动量在 z 轴上的投影为 $\underset{―}{}$。
4. 力学量 $F$ 的本征值方程 $\hat{F}\psi =F\psi$ 中，如果对 $\hat{F}$ 的一个本征值，有 $f$ 个相互独立（线性无关）的本征函数数，我们就说该本征值 $F$ 是 $\underset{―}{}$ 的，简并度为 $\underset{―}{}$。
5. 在动力学表达式中，动量算符的本征方程表示为 $\underset{―}{}$，坐标算符的本征方程表示为 $\underset{―}{}$。
6. $n$ 个全同粒子组成的体系中，不能有两个或两个以上的粒子处于 $\underset{―}{}$，这就是泡利不相容原理。
7. 湮灭算符 $\hat{a}$ 作用于谐振子的第 $n$ 个本征态上的结果为 $\hat{a}{\psi }_n=\underset{―}{}$。
   湮灭算符 $\hat{a}={\left(\frac{\mu \omega }{2\hslash }\right)}^2(\hat{x}+\frac{i}{\mu \omega }\hat{p})$ 的共轭算符是 $\underset{―}{}$。
8. 不考虑相对论效应及自旋轨道耦合，氢原子的能级只依赖于 $\underset{―}{}$ 量子数；考虑相对论效应及自旋轨道耦合后（不考虑实验值修正），氢原子的能级依赖于 $\underset{―}{}$ (填 a 或 b 或 c)。
   (a) $n,l$; (b) $n,l$; (c) $n,j$。
9. 对任意两个波函数 $\psi ,\varphi$，如算符 $\hat{F}$ 满足下述关系 $\underset{―}{}$ 则算符 $\hat{F}$ 称为厄米算符。
10. 当粒子能量低于势垒高度时，粒子仍有可能透过势垒，这种现象称为 $\underset{―}{}$。

2. (20 分)

　　 设一维线性谐振子在 $t=0$ 时的状态为 $$|\psi (t=0)⟩=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\\ 0\\ ⋮\end{array}\right)$$

1. 计算 $t=0$ 时，能量的平均值 $\bar{E}$。
2. 在 $t$ 时刻求 $\bar{P}(t)=⟨\psi (t)|\hat{P}|\psi (t)⟩$，已知在能量表象中， $$P=\frac{1}{i}{\left(\frac{\hslash \omega \mu }{2}\right)}^{1/2}\left(\begin{array}{ccccc}0& \sqrt{1}& 0& 0& \dots \\ -\sqrt{1}& 0& \sqrt{2}& 0& \dots \\ 0& -\sqrt{2}& 0& \sqrt{3}& \dots \\ 0& 0& -\sqrt{3}& 0& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$$

3. (20 分)

　　 定义总角动量算符 $\hat{J}=\hat{L}+\hat{S}$，其中 $\hat{L}$ 为轨道角动量算符，$\hat{S}$ 为自旋角动量算符。

1. 证明 $\hat{J}$ 与 $\hat{L}$、$\hat{S}$ 对易。
2. 在耦合表象中，列举当 $l=1$ 及 $s=\frac{1}{2}$ 时所有的基矢。

4. (30 分)

　　 已知在 ${\hat{L}}^2$ 和 ${\hat{L}}_z$ 的共同表象中，在 $l=1$ 的子空间中，算符 ${\hat{L}}_y$ 的矩阵表示为 $$L_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$$ 求 $L_y$ 的本征值和归一化的本征函数，并将 $L_y$ 对角化。

5. (10 分)

　　 根据光速 $c$ 有限及能量时间的测不准关系，估计正负电子对发生湮灭的最长距离。(可能用到的常数：$\hslash c=197\text{eV}\cdot \text{nm}$，电子质量 $m_e{c}^2=0.511\times {10}^6\text{eV}$)

6. (20 分)

　　 一体系由三个全同的致色子组成，致色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

7. (20 分)

　　 转动惯量为 $I$，电偶极矩为 $D$ 的空间转子处在均匀电场 $\epsilon$ 中，如果电场较小,用微扰法求转子基态能量到二级修正。