陕西师范大学 2012 年 考研 量子力学
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1. 选择正确答案:(每小题 3 分,共 36 分)
- 具有一个价电子的原子,其哈密顿算符 . 下面三组力学量中给出该体系的守恒量的是_______。
- 若某一原子的能级表示为 ,则该能级的简并度是_______。
- 按照量子力学理论,下列表述中正确的是_______。
- (a) 体系的力学量用波函数表示;
- (b) 体系的状态用厄米算符表示;
- (c) 体系的状态用波函数描述,力学量用厄米算符表示。
- 有三个可能的对易关系
1.
2.
3.
下面的三种表述中正确的是_______。
- (a) 关系 (1) 正确,(2) 和 (3) 错误。
- (b) (1) 和 (2) 正确,(3) 错误。
- (c) (1), (2) 和 (3) 都错误。
- 由辐射的吸收和发射理论知,偶极跃迁的选择定则可表述为
根据这一条件,以下选项中正确的是_______。
- (a) 条件满足时跃迁是允许的。
- (b) 条件不满足是跃迁是禁戒的。
- (c) 条件满足时原子将发射或吸收一个电子。
- 根据量子力学理论,若角动量量子数 表示,则一刚体转子的角动量的可能取值正比于_______。
- 扫描隧道电子显微镜(STEM)的工作原理是基于下述哪一效应或性质_______。
- (a) 电子的波动性质。
- (b) 电子的波-粒二象性。
- (c) 电子的隧穿效应。
- 对于一个处在能量本征态 的体系 进行能量测量的结果是_______。
- (a) 结果不确定。
- (b) 按照一定几率分布的两个以上本征值。
- (c) 本征值 ,相应几率为 1。
- 能量为 10 eV 微观粒子,下面数字中最接近该粒子物质波波长的是_______。
- 为电子的自旋算符,下面表述中不正确的是_______。
- 根据测不准原理,下述陈述中正确的是_______。
- (a) 位置和动量不能够同时被精确测量。
- (b) 位置和动量能够同时被精确测量。
- (c) 任何条件下位置或动量均不能被精确测量。
- 表示一体系的状态。下述表述正确的是_______。
- (a) 描述的状态与相同 。
- (b) 决定体系位置的几率分布。
- (c) 表达与 完全相同的状态。
2. 求解 (25 分)
一微观粒子所在势场可表示为
(1)通过求解薛定谔方程求给出该粒子能量本征值和本征函数系。(15 分)
(2)若粒子位于基态,求在区域 中找到粒子的几率。(10 分)
3. 证明(15 分)
- 当 和 对易时,证明 。(5 分)
- 应用坐标和动量的对易关系证明 。(注:公式中的 代表 。)(10 分)
4. 求解 (20 分)
若厄米算符 的本征方程为 ,则 表象指的是以本征函数集 , 为基矢量所张开的空间。假设 的本征值谱是分立的,在 表象中求解以下问题:
- 任意一个状态 的表示。(8 分)
- 任意一个可观测力学量 的表示,并指出在什么条件下可得到对角矩阵表示。(12 分)
5. 求解 (15 分)
一具有二能级结构的原子的哈密顿算符为 ,相应的能级分别为 和 。若该体系受到微小扰动 ,且该扰动在 表象中的矩阵元分别为 和 ,其中 和 为实数。求体系能级的二级修正,并给出二级近似能量。
6. 求解 (14 分)
在含有三个无相互作用的全同波色子的体系中,每一波色子有三个可能状态 、 和 。分别列出在下述两种条件下体系的所有可能状态:
- 、 和 三个态各有一个粒子占据 (7 分)
- , 态有一个粒子占据, 有两个粒子占据 (7 分)
7. 求解 (25 分)
一类氢原子所处状态为
- 求归一化常数 。(5 分)
- 检验态 是否为总角动量算符 的本征态。若是,求相应的本征值;若不是,简述理由。(10 分)
- 计算自旋 z 分量 的平均值。(5 分)
- 求总角动量算符 的矩阵表达式。(5 分)
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