陕西师范大学 2012 年 考研 量子力学

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1. 选择正确答案:(每小题 3 分，共 36 分)

1. 具有一个价电子的原子，其哈密顿算符 $\hat{H} = \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V_{\text{eff}}(r) + g(r) \mathbf{\hat L} \cdot \mathbf{\hat S}$. 下面三组力学量中给出该体系的守恒量的是_______。
   • (a) $\hat{H}, \hat{L}^2, L_z, (\hat{S}^2), \hat{S_z}$;
   • (b) $\hat{H}, \hat{L}^2, (\hat{S}^2), \hat{J_z}\hat{S_z}$;
   • (c) $\hat{H}, \hat{L}^2, (\hat{S}^2), \hat{J^2},\hat{J_z}$。
2. 若某一原子的能级表示为 $3^2P_{1/2}$，则该能级的简并度是_______。
   • (a) 3;
   • (b) 2;
   • (c) 6。
3. 按照量子力学理论，下列表述中正确的是_______。
   • (a) 体系的力学量用波函数表示；
   • (b) 体系的状态用厄米算符表示；
   • (c) 体系的状态用波函数描述，力学量用厄米算符表示。
4. 有三个可能的对易关系
   1.$[\hat{x}, \hat{p}_y] = i \hbar$
   2. $[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = i \hbar \hat{p}_z$
   3.$[\hat{L}_z, \hat{L}^2] = 2[\hat{L}_z, \hat{L}]$
   下面的三种表述中正确的是_______。
   • (a) 关系 (1) 正确，(2) 和 (3) 错误。
   • (b) (1) 和 (2) 正确，(3) 错误。
   • (c) (1), (2) 和 (3) 都错误。
5. 由辐射的吸收和发射理论知，偶极跃迁的选择定则可表述为\[ l' - l = \pm1, \quad \Delta m = m' - m = 0, \pm1.~\] 根据这一条件，以下选项中正确的是_______。
   • (a) 条件满足时跃迁是允许的。
   • (b) 条件不满足是跃迁是禁戒的。
   • (c) 条件满足时原子将发射或吸收一个电子。
6. 根据量子力学理论，若角动量量子数 $l$ 表示，则一刚体转子的角动量的可能取值正比于_______。
   • (a) $l(l+1)^{1/2}\hbar$；
   • (b) $l(l+1)\hbar^2$；
   • (c) $l\hbar$。
7. 扫描隧道电子显微镜(STEM)的工作原理是基于下述哪一效应或性质_______。
   • (a) 电子的波动性质。
   • (b) 电子的波-粒二象性。
   • (c) 电子的隧穿效应。
8. 对于一个处在能量本征态 $\psi_n(r)$ 的体系 $\left( \hat{H} \psi_n(r) = E_n \psi_n(r) \right)$ 进行能量测量的结果是_______。
   • (a) 结果不确定。
   • (b) 按照一定几率分布的两个以上本征值。
   • (c) 本征值 $E_n$，相应几率为 1。
9. 能量为 10 eV 微观粒子，下面数字中最接近该粒子物质波波长的是_______。
   • (a) $10^{-3}$ 米；
   • (b) $10^{-6}$ 米；
   • (c) $10^{-10}$ 米。
10. $\hat{S}$ 为电子的自旋算符，下面表述中不正确的是_______。
    • (a) $\hat{S}_x \hat{S}_y - \hat{S}_y \hat{S}_x = 0$；
    • (b) $\hat{S}_x \hat{S}_y + \hat{S}_y \hat{S}_z = 0$；
    • (c) $\hat{S}_x^2 = \hat{S}_y^2 = \hat{S}_z^2$。
11. 根据测不准原理，下述陈述中正确的是_______。
    • (a) 位置和动量不能够同时被精确测量。
    • (b) 位置和动量能够同时被精确测量。
    • (c) 任何条件下位置或动量均不能被精确测量。
12. $\psi(\mathbf{r}, t)$ 表示一体系的状态。下述表述正确的是_______。
    • (a) $\psi(\mathbf{r}, t)$ 描述的状态与相同 $\psi(\mathbf{r}, t)$。
    • (b) $|\psi(\mathbf{r}, t)|^2$ 决定体系位置的几率分布。
    • (c) $\psi(\mathbf{r}, t)$ 表达与 $\psi(\mathbf{r}, t)$ 完全相同的状态。

2. 求解 (25 分)

　　 一微观粒子所在势场可表示为 \[ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a \\ \infty, & x < 0 , x > a \end{cases}~ \] (1)通过求解薛定谔方程求给出该粒子能量本征值和本征函数系。(15 分)
(2)若粒子位于基态，求在区域 $\left\{x = \frac{a}{4}, x = \frac{3a}{4}\right\}$ 中找到粒子的几率。（10 分）

3. 证明(15 分)

1. 当 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 对易时，证明 $ (\hat{A} + \hat{B})(\hat{A} - \hat{B}) = \hat{A}^2 - \hat{B}^2$。（5 分）
2. 应用坐标和动量的对易关系证明 $[\hat{L}_z, x] = i \hbar y$。（注：公式中的 $h$ 代表 $\hbar$。）(10 分)

4. 求解 (20 分)

　　 若厄米算符 $\hat{F}$ 的本征方程为 $\hat{F} \varphi_i(x) = \lambda_i \varphi_i(x)$，则 $\hat{F}$ 表象指的是以本征函数集 $\{\varphi_i(x)\}$, $i=1,2,\dots,n$ 为基矢量所张开的空间。假设 $\hat{F}$ 的本征值谱是分立的，在 $\hat{F}$ 表象中求解以下问题：

1. 任意一个状态 $|\psi\rangle$ 的表示。（8 分）
2. 任意一个可观测力学量 $\hat{A}$ 的表示，并指出在什么条件下可得到对角矩阵表示。（12 分）

5. 求解 (15 分)

　　 一具有二能级结构的原子的哈密顿算符为 $\hat H_0$，相应的能级分别为 $E_{01}$ 和 $E_{02}$。若该体系受到微小扰动 $\hat H'$，且该扰动在 $\hat H_0$ 表象中的矩阵元分别为 $H'_{12} = H'_{21} = a$ 和 $H'_{11} = H'_{22} = b$，其中 $a$ 和 $b$ 为实数。求体系能级的二级修正，并给出二级近似能量。

6. 求解 (14 分)

　　 在含有三个无相互作用的全同波色子的体系中，每一波色子有三个可能状态 $\varphi_{k1}$、$\varphi_{k2}$ 和 $\varphi_{k3}$。分别列出在下述两种条件下体系的所有可能状态：

1. $\varphi_{k1}$、$\varphi_{k2}$ 和 $\varphi_{k3}$ 三个态各有一个粒子占据 (7 分)
2. $\varphi_{k1}$,$\varphi_{k2}$ 态有一个粒子占据，$\varphi_{k3}$ 有两个粒子占据 (7 分)

7. 求解 (25 分)

　　 一类氢原子所处状态为 \[ \psi = C R_{43}(r) \begin{pmatrix} \sqrt{5} Y_3^1(\theta, \varphi) \\ \sqrt{2} Y_3^2(\theta, \varphi) \end{pmatrix}~ \]

1. 求归一化常数 $C$。（5 分）
2. 检验态 $\psi$ 是否为总角动量算符 $\hat{J}^2$ 的本征态。若是，求相应的本征值；若不是，简述理由。（10 分）
3. 计算自旋 z 分量 $\hat{S}_z$ 的平均值。（5 分）
4. 求总角动量算符 $\hat{J}^2$ 的矩阵表达式。（5 分）