陕西师范大学 2012 年 考研 量子力学

                     

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1. 选择正确答案:(每小题 3 分,共 36 分)

  1. 具有一个价电子的原子,其哈密顿算符 H^=22m2+Veff(r)+g(r)L^S^. 下面三组力学量中给出该体系的守恒量的是_______。
    • (a) H^,L^2,Lz,(S^2),Sz^;
    • (b) H^,L^2,(S^2),Jz^Sz^;
    • (c) H^,L^2,(S^2),J2^,Jz^
  2. 若某一原子的能级表示为 32P1/2,则该能级的简并度是_______。
    • (a) 3;
    • (b) 2;
    • (c) 6。
  3. 按照量子力学理论,下列表述中正确的是_______。
    • (a) 体系的力学量用波函数表示;
    • (b) 体系的状态用厄米算符表示;
    • (c) 体系的状态用波函数描述,力学量用厄米算符表示。
  4. 有三个可能的对易关系
    1.[x^,p^y]=i
    2. [p^x,p^y]=ip^z
    3.[L^z,L^2]=2[L^z,L^]
    下面的三种表述中正确的是_______。
    • (a) 关系 (1) 正确,(2) 和 (3) 错误。
    • (b) (1) 和 (2) 正确,(3) 错误。
    • (c) (1), (2) 和 (3) 都错误。
  5. 由辐射的吸收和发射理论知,偶极跃迁的选择定则可表述为ll=±1,Δm=mm=0,±1.  根据这一条件,以下选项中正确的是_______。
    • (a) 条件满足时跃迁是允许的。
    • (b) 条件不满足是跃迁是禁戒的。
    • (c) 条件满足时原子将发射或吸收一个电子。
  6. 根据量子力学理论,若角动量量子数 l 表示,则一刚体转子的角动量的可能取值正比于_______。
    • (a) l(l+1)1/2
    • (b) l(l+1)2
    • (c) l
  7. 扫描隧道电子显微镜(STEM)的工作原理是基于下述哪一效应或性质_______。
    • (a) 电子的波动性质。
    • (b) 电子的波-粒二象性。
    • (c) 电子的隧穿效应。
  8. 对于一个处在能量本征态 ψn(r) 的体系 (H^ψn(r)=Enψn(r)) 进行能量测量的结果是_______。
    • (a) 结果不确定。
    • (b) 按照一定几率分布的两个以上本征值。
    • (c) 本征值 En,相应几率为 1。
  9. 能量为 10 eV 微观粒子,下面数字中最接近该粒子物质波波长的是_______。
    • (a) 103 米;
    • (b) 106 米;
    • (c) 1010 米。
  10. S^ 为电子的自旋算符,下面表述中不正确的是_______。
    • (a) S^xS^yS^yS^x=0
    • (b) S^xS^y+S^yS^z=0
    • (c) S^x2=S^y2=S^z2
  11. 根据测不准原理,下述陈述中正确的是_______。
    • (a) 位置和动量不能够同时被精确测量。
    • (b) 位置和动量能够同时被精确测量。
    • (c) 任何条件下位置或动量均不能被精确测量。
  12. ψ(r,t) 表示一体系的状态。下述表述正确的是_______。
    • (a) ψ(r,t) 描述的状态与相同 ψ(r,t)
    • (b) |ψ(r,t)|2 决定体系位置的几率分布。
    • (c) ψ(r,t) 表达与 ψ(r,t) 完全相同的状态。

2. 求解 (25 分)

   一微观粒子所在势场可表示为 V(x)={0,0xa,x<0,x>a  (1)通过求解薛定谔方程求给出该粒子能量本征值和本征函数系。(15 分)
(2)若粒子位于基态,求在区域 {x=a4,x=3a4} 中找到粒子的几率。(10 分)

3. 证明(15 分)

  1. A^B^ 对易时,证明 (A^+B^)(A^B^)=A^2B^2。(5 分)
  2. 应用坐标和动量的对易关系证明 [L^z,x]=iy。(注:公式中的 h 代表 。)(10 分)

4. 求解 (20 分)

   若厄米算符 F^ 的本征方程为 F^φi(x)=λiφi(x),则 F^ 表象指的是以本征函数集 {φi(x)}, i=1,2,,n 为基矢量所张开的空间。假设 F^ 的本征值谱是分立的,在 F^ 表象中求解以下问题:

  1. 任意一个状态 |ψ 的表示。(8 分)
  2. 任意一个可观测力学量 A^ 的表示,并指出在什么条件下可得到对角矩阵表示。(12 分)

5. 求解 (15 分)

   一具有二能级结构的原子的哈密顿算符为 H^0,相应的能级分别为 E01E02。若该体系受到微小扰动 H^,且该扰动在 H^0 表象中的矩阵元分别为 H12=H21=aH11=H22=b,其中 ab 为实数。求体系能级的二级修正,并给出二级近似能量。

6. 求解 (14 分)

   在含有三个无相互作用的全同波色子的体系中,每一波色子有三个可能状态 φk1φk2φk3。分别列出在下述两种条件下体系的所有可能状态:

  1. φk1φk2φk3 三个态各有一个粒子占据 (7 分)
  2. φk1,φk2 态有一个粒子占据,φk3 有两个粒子占据 (7 分)

7. 求解 (25 分)

   一类氢原子所处状态为 ψ=CR43(r)(5Y31(θ,φ)2Y32(θ,φ)) 

  1. 求归一化常数 C。(5 分)
  2. 检验态 ψ 是否为总角动量算符 J^2 的本征态。若是,求相应的本征值;若不是,简述理由。(10 分)
  3. 计算自旋 z 分量 S^z 的平均值。(5 分)
  4. 求总角动量算符 J^2 的矩阵表达式。(5 分)

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