陕西师范大学 2007 年 考研 量子力学

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1. [25 分]

1. 量子力学的被函数与经典的波场有柯本质性的区别?
2. 已知 $\vec L \boldsymbol\times \vec L = \mathrm{i} \hbar \vec L$，试问 $\vec L_x, \vec L_y,$ 和 $\vec L_z$ 是不是一定不同时间测定？说明其原由或举例说明。
3. 能够用微扰法求解微观体系运动的条件是什么?
4. 对于 $He$ 原子的单重态和三重态，它们的空间波函数满足什么样的对称性?
5. 解释碱金属原子 $S$ 谱项的精细结构是单层的原因。

2. [20 分]

　　 一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻 ($t = 0$) 处于 \[ \psi(x, 0) = [\psi_1(x) + \psi_2(x)]/\sqrt{2}~ \] $\psi_1(x)$ 与 $\psi_2(x)$ 分别为基态和第一激发态。求：

1. $\psi(x, t)$ 和 $\rho(x,t) = \psi^*(x,t)\psi(x,t)$
2. 能量平均值 $\overline{H} $:
3. 能量平反的平均值 $\overline{H}^2 $
4. 能量的涨落 $\Delta E =\overline{\left\langle \left( H - \overline{H} \right)^2\right\rangle^{1/2}}$

3. [15 分]

　　 对称陀螺的哈密顿是\[\hat{H} = \frac{1}{2I_1} \left( \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 \right) + \frac{1}{2I_3} \hat{L}_z^2~\] 证明其算符是它的本征函数，并写出相应的本征值。

4. [15 分]

　　 设在 $\hat H_0$ 表象中，力的矩阵表示为： \[ \begin{pmatrix} E_1^0 & 0 & a \\ 0 & E_2^0 & b \\ a^. & b & E_3^0 \end{pmatrix}~ \] 其中 $E_1^0 < E_2^0 < E_3^0$，使用定态微扰论求能量的二级修正值。

5. [30 分]

　　 有一无自旋的粒子，其波函数为 \[ \psi = k(x + y + 2z)e^{-\alpha r},~ \] 其中 \[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},~ \] 且 $k$, $\alpha$ 是实常数。问：

1. 粒子的总角动量是多少?
2. 角动量 $z$ 分量的平均值是多少?
3. 若角动量的 $z$ 分量 $L_z$ 被测量，问测得 $L_z = +\hbar$ 的几率是多少？

　　 (已知： \[ Y_{00} = \sqrt{\frac{1}{4\pi}}, \quad Y_{10} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta, \quad Y_{1\pm1} = \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin\theta e^{\pm i\phi}~ \])

6. [20 分]

　　 在 $\sigma_z$ 表象中，求 $\sigma_x$ 的本征态。

7. [25 分]

　　 在 $Na$ 原子光谱中，谱线 $D_1$ 来自于第一激发态 $3^2P_{1/2}$ 到基态 $3^2S_{1/2}$ 的跃迁，其波长为 5896 埃。当 $Na$ 原子放在磁场 $B$ 中时，$D_1$ 谱线将分裂成几条谱线，试用能级跃迁图表示。设磁场 $B$ 的强度为 $2.5T$。求分裂谱线中最短与最长的两条谱线之间的波长差。