陕西师范大学 2006 年 考研 量子力学

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1. 填空题(本题 10 道题，每小题 2 分，共 20 分)

1. 爱因斯坦提出光量子理论成功解释了光电效应现象，光量子理论的核____________.
2. 德布罗意提出了物质波假说。按这个假说，粒子的能量 $E$、动量 $P$ 与波的波长 $\lambda$ 之间的关系为____________.
3. 微观粒子的状态用波函数描述。若 $\psi (x,y,z,t)$ 与 $\mathrm{\Phi }(x,y,z,t)$ 描写同一状态，数的差别是____________.
4. 若微观体系的哈密顿算符 $H$ 不显含时间，则体系的薛定谔方程 $$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2\psi +U(\overrightarrow{r})\psi$$ 的一般解是 $\psi (\overrightarrow{\mathbf{r}},t)$ =____________.
5. 动量算符 $\hat{P}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$，其本征函数数有两种归一化方式，当本征值取连续谱时，其形式为 ____________.
6. 氢原子处于状态 ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\phi )$ 时，则在半径 $\overrightarrow{r}$ 到 $\overrightarrow{r}+d\overrightarrow{r}$ 的球壳内找到电 $w_{nl}(\overrightarrow{r})dr=$____________.
7. 任意态 $\psi (x)=\sum _n{c}_n{\mathrm{\Phi }}_n(x)$，其中 ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ 是力学量 $\hat{F}$ 的正交归一的本征函数。归一化，则系数 $c_n$ 应满足 $\sum _n|c_n{|}^2=$_______.$[\hat{F},\hat{G}]$=_______.
8. 在非简并态微扰理论中，$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$ 该微扰理论运用的条件具体表现为_______.
9. 在量子力学中，自旋算符常用泡利算符 $\hat{\sigma }$ 表示，$\hat{\sigma }$ 满足的对易关系是_______.

2. 简要回答下列为题。本题两道小题，每小题 10 分，共 20 分。

1. 量子力学中，力学量为什么要用算符表示?力学量算符与其所表示的力学 么关系?
2. 试用测不准原理解释隧道效应。

3. 证明题。本题两道小题，每小题 10 分，共 20 分。

1. 若算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 对易，则 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 有组成完全集的本征函数系。
2. 电荷为 $e$ 的线性谐振子受到恒定电场 $ϵ$ 的作用，电场沿 $x$ 轴正方向。试证无电场时相比，线性谐振子的相应能级降低了 $\frac{e^2{ϵ}^2}{2\mu {\omega }^2}$，而平衡点右移 $\frac{e^2ϵ}{\mu \omega }$。

4. 计算题。共 7 题，1--5 每小题 10 分，6、7 两题每小题 20 分，共 90 分

1. 在一维无限深势阱中运动的粒子，阱宽为 $2a$。粒子处于哈密顿算符 $\hat{H}$ 的本征态。求：距离阱的左内壁距离为 $\frac{1}{2}a$ 处粒子出现的几率是多少？$n$ 越大，在此处粒子出现的几率越大？
2. 氢原子处于基态 ${\psi }_{100}(r,\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-\frac{r}{a_0}}$，求该态时体系势能 $-\frac{e^2}{r}$ 的平均值与玻尔模型中第一束缚轨道电子的动能比较。
3. 设体系处于 $\psi =c_1{y}_{11}+c_2{y}_{10}$ 态中，其中 $c_1,c_2$ 是展开系数。$Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 是数。求：（1）力学量 ${\hat{L}}_z$ 的可能值及平均值。（2）力学量 ${\hat{L}}^2$ 的本征值。
4. 求动量表象中角动量的 ${\hat{L}}_z$ 的矩阵元。
5. 量子体系的哈密顿量在能量表象中为 $$H=\left(\begin{array}{cc}{E}_1^{(0)}+a& b\\ b& E_2^{(0)}+a\end{array}\right)$$ 其中，$a$, $b$ 为常数。$E_1^{(0)}$, $E_2^{(0)}$ 为体系未受微扰时的能量。求：（1）体系的能量到二级修正。
6. 设氢原子的状态是 $$\psi =\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}{R}_{21}(r)Y_{11}(\theta ,\phi )\\ \frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{21}(r)Y_{10}(\theta ,\phi )\end{array}\right)$$ (1)求轨道角动量 ${\hat{L}}_z$ 的平均值和自旋角动量 $Z$ 分量 ${\hat{S}}_z$ 的平均值。
   (2)求总磁矩 $\hat{M}=-\frac{e}{2\mu }\hat{L}-\frac{e}{\mu }\hat{S}$ 的分量的平均值（用玻尔磁子）。
7. 一维无限深势阱中有四个电子(阱宽为 $0<x<a$)，假定电子间无相互作 的哈密顿与自旋无关。试求:
   (1)基态时体系的波函数和能级。
   (2)第一激发态时体系的波函数和能级。