陕西师范大学 2005 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 粒子在一维势场 $U(x)$ 中运动，证明属于同一能级的两个東缚定态波函数 ${\psi }_1$ 与 ${\psi }_2$,只相 差一常数，即 ${\psi }_1=C{\psi }_2$,$C$ 为一常数。

2. (20 分)

　　 已知一维谱振子的哈帟顿算符为$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{x}^2$$处于 $\psi (x)=C(2{\alpha }^2{x}^2-1)e^{-\frac{1}{2}{\alpha }^2{x}^2}$ 状态中，式中 $\alpha ={\left(\frac{\mu \omega }{\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}$,$C$ 为一常数。

1. 证明它处于能量的本征态，本征值是多少?
2. 它的动是是否具有确定值，为什么?

3. (15 分)

　　 什么是厄密算符?以下算符是否为厄密算符，要说明详细理由?

4. (30 分)

　　 氢原子基态的波函数为 ${\psi }_{100}(r,\theta ,\phi )=C{e}^{-r/a_0}$，求：

1. 归一化常数 $C$；
2. 最可几半径；
3. 势能 $U=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{r}$ 的平均值。

5. (30 分)

　　 粒子在力学量 $\hat{Q}$ 的两个本征态所张成的态空间中运动。在该表象中，其哈密顿量有 $\hat{H}$ 和一力学算符 $\hat{A}$ 的形式为 $$\hat{H}=b\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\hat{A}=a\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),a,b\text{为实数}.$$

　　 (a) 求 $\hat{H}$ 的本征值和相应的本征矢；

　　 (b) 若 $t=0$ 时，粒子处于 $$\psi (0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$ 所描述的状态，求 $t$ 时刻粒子的状态，它是否是能量的本征态？

　　 (c) 求 $t=0$ 时，$\hat{A}$ 的平均值 $\bar{A}$，并讨论 $\bar{A}$ 随时间变化的规律。

6. (20 分)

　　 已知 ${\hat{L}}^2$ 和 ${\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z$ 为角动量算符，${\hat{L}}_{\pm }$ 定义为 ${\hat{L}}_{\pm }={\hat{L}}_x\pm i{\hat{L}}_y$, $\varphi ={\hat{L}}_{+}{Y}_{lm}$, $\psi ={\hat{L}}_{-}{Y}_{lm}$.

　　 证明：$\varphi ,\psi$ 为 ${\hat{L}}^2$ 和 ${\hat{L}}_z$ 的共同本征函数，本征值为多少？

7. (20 分)

　　 转动惯最为 $I$ 的刚性转子绕一固定点转动，哈密顿算符为 $H_0=\frac{L^2}{2I}$，可作为双原子分子的模型，

　　 (a) 写出它的哈密顿算符的本征值及本征函数，能级是几度兼并的:

　　 (b) 双原子分子板化，可处理成电偶极矩为的刚性转子在均匀弱电场 $\hat{\epsilon }$ 中，$\hat{H}=H_0+{\hat{H}}^{\prime }$ $$H^{\prime }=-D\dot{\theta }=-D\dot{\theta }\cos \theta$$ 试用微扰法求转子基态能量到二级修正。

　　 可能用到的递推公式: $$\cos \theta Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{3}}{Y}_{10}$$