陕西师范大学 2005 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 粒子在一维势场 $U(x)$ 中运动，证明属于同一能级的两个東缚定态波函数 $\psi_1$ 与 $\psi_2$,只相 差一常数，即 $\psi_1=C\psi_2$,$C$ 为一常数。

2. (20 分)

　　 已知一维谱振子的哈帟顿算符为$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}\mu \omega^2 x^2~$$处于 $\psi(x) = C(2\alpha^2x^2 - 1)e^{-\frac{1}{2}\alpha^2x^2}$ 状态中，式中 $\alpha = \left( \frac{\mu \omega}{\hbar} \right)^{\frac{1}{2}}$,$C$ 为一常数。

1. 证明它处于能量的本征态，本征值是多少?
2. 它的动是是否具有确定值，为什么?

3. (15 分)

　　 什么是厄密算符?以下算符是否为厄密算符，要说明详细理由?

4. (30 分)

　　 氢原子基态的波函数为 $\psi_{100}(r, \theta, \varphi) = Ce^{-r/a_0}$，求：

1. 归一化常数 $C$；
2. 最可几半径；
3. 势能 $U = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}$ 的平均值。

5. (30 分)

　　 粒子在力学量 $\hat{Q}$ 的两个本征态所张成的态空间中运动。在该表象中，其哈密顿量有 $\hat{H}$ 和一力学算符 $\hat{A}$ 的形式为 $$ \hat{H} = b \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{A} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}~, \quad a, b \text{为实数}. $$

　　 (a) 求 $\hat{H}$ 的本征值和相应的本征矢；

　　 (b) 若 $t = 0$ 时，粒子处于 $$ \psi(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~ $$ 所描述的状态，求 $t$ 时刻粒子的状态，它是否是能量的本征态？

　　 (c) 求 $t = 0$ 时，$\hat{A}$ 的平均值 $\overline{A}$，并讨论 $\overline{A}$ 随时间变化的规律。

6. (20 分)

　　 已知 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z$ 为角动量算符，$\hat{L}_\pm$ 定义为 $\hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y$, $\phi = \hat{L}_+ Y_{lm}$, $\psi = \hat{L}_- Y_{lm}$.

　　 证明：$\phi, \psi$ 为 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$ 的共同本征函数，本征值为多少？

7. (20 分)

　　 转动惯最为 $I$ 的刚性转子绕一固定点转动，哈密顿算符为 $H_0 = \frac{L^2}{2I}$，可作为双原子分子的模型，

　　 (a) 写出它的哈密顿算符的本征值及本征函数，能级是几度兼并的:

　　 (b) 双原子分子板化，可处理成电偶极矩为的刚性转子在均匀弱电场 $\hat\varepsilon$ 中，$\hat H = H_0 + \hat H'$ $$ H' = -D \dot{\theta} = -D \dot{\theta} \cos \theta~ $$ 试用微扰法求转子基态能量到二级修正。

　　 可能用到的递推公式: $$\cos\theta Y_{00} = \frac{1}{\sqrt{3}} Y_{10}~$$