华东师范大学 2015 年 考研 量子力学

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1. 选择题

1. 对于库仑势形式的中心力场，动能、势能平均值之间应有如下关系 $A) \ \vec{T} = -\vec{V} \quad ; \quad B) \ \vec{T} = -2\vec{V} \quad ; \quad C) \ \vec{V} = \vec{T} \quad ; \quad D) \ \vec{V} = -2\vec{T} $
2. 若 $a^{\dagger}$ 和 $a$ 分别是谐振子的升降算符，变换 $e^{\lambda a^{\dagger}} a e^{-\lambda a^{\dagger}}$ 的计算结果是（$\lambda$ 为常数）： A) $a + \lambda$；B) $a - \lambda$；C) $a e^{\lambda}$；D) $a e^{-\lambda}$。
3. 下列哪种物理实验或现象与自旋无关?
   A)斯特恩-盖拉赫实验;C)斯塔克效应:B)精细结构:D)反常塞曼效应。
4. 考虑三个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系，哈密顿量为 $$\hat{H} = A \vec{S}_1 \cdot \vec{S}_2 + B (\vec{S}_1 + \vec{S}_2) \cdot \vec{S}_3~$$(A 和 B 为两个实常数) 问下列哪个不属于该体系的能量本征值？
   A) $\left(\frac{A}{4} - \frac{B}{2}\right)\hbar^2 \quad B \left(\frac{A}{4} + \frac{B}{2}\right)\hbar^2$
   C) $\left(\frac{A}{4} - B\right)\hbar^2 \quad D) -\frac{3}{4}A \hbar^2$
5. 三个全同电子处于一个圆频率为 $\omega$ 的一维谐振子势场中，忽略它们之间的相互作用。假设任一电子所处的本征波函数为 $\psi_{n\sigma }= \varphi_{n}(x) \chi_{\sigma}$，其中 $\varphi_{n}(x)$ 表示一维谐振子的本征态（$n = 0,1,2,3$,...），$\chi_{\sigma}$ 表示电子自旋 $z$ 分量 $s_z$ 的本征态，$\sigma = \pm \frac{1}{2}$。该系统的基态能量是：
   A) $\frac{3}{2}\hbar\omega \quad B)2\hbar\omega$
   C) $\frac{5}{2}\hbar\omega \quad D) 3\hbar\omega$

2. (本题 22 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子处于一维势场 $$V(x) = \begin{cases} \infty & x \geq a \\\\0 & 0 < x < a \\\\\infty & x = 0 \\\\0&-a < x < 0 \\\\\infty & x \leq -a \\\\\ \end{cases}~$$ 中，求其定态本征能量与本征波函数。

3. (本题 20 分)

　　 两个质量同为 $m$ 的一维谐振子，限制在 $x$ 轴上运动，圆频率均为 $\omega$，振子之间的耦合作用势为 $\lambda m \omega^2 (x_1 - x_2)^2$，这里 $\lambda$ 为一正常数。两个振子的平衡位置分别位于 $a$ 和 $-a$ 处。求该体系的本征能量。

4. (本题 20 分)

　　 在一个电子所处的状态中，$\hat S_z$ 取 $\hbar/2$ 的概率为 $1/3$，$\hat S_z$ 取 $-\hbar/2$ 的概率为 $1/6$，且 $\hat S_z$ 的平均值小于零。问：$\hat S_z$ 取 $\hbar/2$ 的概率是多少？

5. (本题 20 分)

　　 中子 $n$ 和反中子 $\bar{n}$ 的质量都是 $m$，它们的态 $|n\rangle$ 和 $|\bar{n}\rangle$ 可看成是一个自由哈密顿量 $\hat H_0$ 的简并态：

　　 $$\hat H_0|n\rangle = mc^2|n\rangle, \quad \hat H_0|\bar{n}\rangle = mc^2|\bar{n}\rangle~$$

　　 设有某种相互作用作用 $\hat H'$ 能使中子和反中子互相转换：

　　 $$\hat H'|n\rangle = \alpha|\bar{n}\rangle, \quad \hat H'|\bar{n}\rangle = \alpha|n\rangle~$$

　　 其中 $\alpha$ 是实数。试求 $t=0$ 时刻的一个中子在 $t$ 时刻转变成反中子的几率。

　　 提示：此时系统的哈密顿量为 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'$。

6. (本题 20 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在势场下$$V(x) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\\\ Cx & x \geq 0\end{cases}(C>0)~$$中运动， 用变分法估算粒子的基态能量。试探波函数取 $\psi(\mathbf{x}) = A x e^{-\lambda x}$ $\lambda$ 为变分参数。