东南大学 2016 年 考研 量子力学

贡献者： 待更新

　　 声明：“该内容来源于网络公开资料，不保证真实性，如有侵权请联系管理员”

　　 1.(15 分)以下叙述是否正确:(1)宇称算符是厄米算符，为是么汇梦待:(2)束缚态的函数一定是可归一化的:(3)时间反演对称性导致能量守恒:(4)自旋角动量是量子为学中特有的力学量、在经典力学中没有对应的力学量:(5)角动最算符 ${\hat{l}}_x$ 和 ${\hat{l}}_y$ 存在共同本征态。

　　 2.(15 分)设质量为 $m$ 的粒子在势场 $V(r)$ 中运动，波函数为 $\psi (r,t)$。

1. 试证明粒子的能量平均值为 $$E(t)=\int d^{3}r\omega (r,t),\omega =\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast }\cdot \mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{\ast }V\psi$$
2. 试证明能量守恒公式 $$\frac{\partial \omega }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{S}=0,S(r,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial t}\mathrm{\nabla }\psi +\frac{\partial \psi }{\partial t}\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast })$$

　　 3.(15 分)粒子的轨道角动最算符定义为： $${\hat{l}}_x=\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,{\hat{l}}_y=\hat{z}{\hat{p}}_x-\hat{x}{\hat{p}}_z,{\hat{l}}_z=\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x,$$ 基本对易关系为 $[{\hat{x}}_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=i\hslash {\delta }_{\alpha \beta }$, 求对易式: $[{\hat{l}}_x,\hat{y}],[{\hat{l}}_x,{\hat{p}}_y][{\hat{l}}_x,{\hat{l}}_y],.$

　　 4.(15 分)质量为 $\mu$ 的粒子处于一维无限深方势阱中，设 $(x,y)=0$ (当 $0<x<a,0<y<b$)；$V(x,y)=\mathrm{\infty }$(我它区城)， 试求：

1. 粒子的能量本征值和本征函数；
2. 当 $a=b$ 时，最低 4 个能级的简并度,。

　　 5.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以一定的能量 $E(E>0)$ 沿 $x$ 轴方向入射。碰到如下的势量： $$V(x)=0,(x<0),V(x)==V_{0}x/a,(0\le x\le a),V(x)=V_0,(x>a).$$

1. 分别写出入射区 ($x<0$) 和透射区 ($x>a$) 的定态薛定谔方程，并给出定态解 $\psi (x)$ 的形式。
2. 利用几率流密度公式 $$j=-\frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{\ast }\frac{d\psi }{dx}-\psi \frac{d{\psi }^{\ast }}{dx})$$ 求出入射浓几率流密度 $j_i$、反射波几率流密度 $j_r$、及透射波几率流密度 $j_t$ 的表达式，并写出求反射系数 $r$ 和透射系数 $t$ 的表达式。
3. 利用几率守恒定理证明:$r+t=1$

　　 6.(15 分)设体系的哈密顿算符 $\hat{H}(\lambda )$ 含有一个实参数 $\lambda$，其束缚态能级为 $E_n(\lambda )$ 归一化能量本征态为 $|{\psi }_n(\lambda )⟩$，试证明 $$\partial E_n/\partial \lambda =⟨{\psi }_n|(\partial \hat{H}/\partial \lambda )|{\psi }_n⟩.$$

　　 7.(15 分)质量为 $\mu$ 带电 $q$ 的粒子限制在半径为 $R$ 的圆环上运动，环心处通有一条细长的磁通管中，磁场限制在细管内，圆环上及其近区域的磁场为 $0$。设通过圆环的磁通量为 $\mathrm{\Phi }$，则圆环邻近区域的矢量势可取为（在适当的标示中） $$\mathrm{\Lambda }(\rho ,\varphi ,z)=\left(\mathrm{\Phi }/2\pi \rho \right)e_{\varphi }.$$

1. 写出粒子的哈密顿算符；
2. 求能量本征值，并讨论能级简并情况。

　　 3

　　 8.(15 分)设粒子的波函数为 $\psi (\theta ,\phi )=a{Y}_{11}(\theta ,\phi )+b{Y}_{21}(\theta ,\phi )$，其中 $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 为球谐函数。并且 $|a{|}^2+|b{|}^2=1$

　　 试求：

1. 角动量 ${\hat{l}}_z$ 的可能测量值及平均值；
2. ${\hat{l}}^2$ 的可能测量值及相应的几率。

　　 9.(15 分)设碱金属原子的价电子处于中心力场 $V(r)$ 中，哈密顿算符为 $${\hat{H}}_0=p^2/2\mu +V(r)$$ 守恒量完全集 $\{{\hat{H}}_0,{\hat{l}}^2,{\hat{l}}_z\}$ 的共同本征态为 $|nlm⟩$，能量本征值为 $E_n$。

1. 若在 z 方向外加磁场 $B$，则价电子的哈密顿算符变为 $$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\omega }_L{\hat{l}}_z({\omega }_L=eB/2\mu c)$$ 试求相应的能量本征态和能量本征值。
2. 求在强磁场 $B$ 时，原子从 $p$ 态 $(l=1)$ 跃迁到 $s$ 态 $(l=0)$ 的光谱线频率（跃迁过程中保持 $n$ 不变）。

　　 10.(15 分)设质量为 $m$ 的粒子作一维谐振子运动，圆频率为 $\omega$，能量本征值为 $$E_n^{(0)}=(n+1/2)\hslash \omega ,(n=0,1,2,\cdots ).$$ 微扰哈密顿为 ${\hat{H}}^{\prime }=-k\hat{x}$。试用微扰理论求能级的修正（准确到二级近似）。

　　 提示：非简并微扰论的能级修正公式为 $$E_k=E_k^{(0)}+H_{kk}^{\prime }+\sum _{l\ne k}\frac{H_{kl}^{\prime }{H}_{lk}^{\prime }}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}.$$ $$x_{kl}=\sqrt{\hslash /m\omega }[\sqrt{(n+2)/2}{\delta }_{k,l+1}+\sqrt{n/2}{\delta }_{k,l-1}].$$