东南大学 2016 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确:(1)宇称算符是厄米算符，为是么汇梦待:(2)束缚态的函数一定是可归一化的:(3)时间反演对称性导致能量守恒:(4)自旋角动量是量子为学中特有的力学量、在经典力学中没有对应的力学量:(5)角动最算符 $\hat{l}_x$ 和 $\hat{l}_y$ 存在共同本征态。

　　 2.(15 分)设质量为 $m$ 的粒子在势场 $V(r)$ 中运动，波函数为 $\psi(r,t)$。

1. 试证明粒子的能量平均值为 \[ E(t) = \int d^3r \, \omega(r,t), \quad \omega = \frac{\hbar^2}{2m} \nabla \psi^* \cdot \nabla \psi + \psi^* V \psi~ \]
2. 试证明能量守恒公式 \[ \frac{\partial \omega}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = 0, \quad S(r,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \nabla \psi + \frac{\partial \psi}{\partial t} \nabla \psi^*\right)~ \]

　　 3.(15 分)粒子的轨道角动最算符定义为： \[ \hat{l}_x = \hat{y} \hat{p}_z - \hat{z} \hat{p}_y, \quad \hat{l}_y = \hat{z} \hat{p}_x - \hat{x} \hat{p}_z, \quad \hat{l}_z = \hat{x} \hat{p}_y - \hat{y} \hat{p}_x,~ \] 基本对易关系为 $[\hat{x}_\alpha, \hat{p}_\beta] = i\hbar \delta_{\alpha\beta}$, 求对易式: $[\hat{l}_x, \hat{y}] , [\hat{l}_x, \hat{p}_y] [\hat{l}_x, \hat{l}_y] , .$

　　 4.(15 分)质量为 $\mu$ 的粒子处于一维无限深方势阱中，设 $(x,y)=0$ (当 $0 < x < a, 0 < y < b$)；$V(x, y) =\infty$(我它区城)， 试求：

1. 粒子的能量本征值和本征函数；
2. 当 $a = b$ 时，最低 4 个能级的简并度,。

　　 5.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以一定的能量 $E (E > 0)$ 沿 $x$ 轴方向入射。碰到如下的势量： \[ V(x) = 0, (x < 0), \quad V(x) = =V_0 x/a, (0 \leq x \leq a), \quad V(x) = V_0, (x > a).~ \]

1. 分别写出入射区 ($x < 0$) 和透射区 ($x > a$) 的定态薛定谔方程，并给出定态解 $\psi(x)$ 的形式。
2. 利用几率流密度公式 \[ j = -\frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^* \frac{d\psi}{dx} - \psi \frac{d\psi^*}{dx} \right)~ \] 求出入射浓几率流密度 $j_i$、反射波几率流密度 $j_r$、及透射波几率流密度 $j_t$ 的表达式，并写出求反射系数 $r$ 和透射系数 $t$ 的表达式。
3. 利用几率守恒定理证明:$r+t=1$

　　 6.(15 分)设体系的哈密顿算符 $\hat{H}(\lambda)$ 含有一个实参数 $\lambda$，其束缚态能级为 $E_n(\lambda)$ 归一化能量本征态为 $ \left\lvert \psi_n(\lambda) \right\rangle $，试证明 \[ \partial E_n/\partial \lambda = \left\langle \psi_n \left| (\partial \hat{H}/\partial \lambda) \right| \psi_n \right\rangle.~ \]

　　 7.(15 分)质量为 $\mu$ 带电 $q$ 的粒子限制在半径为 $R$ 的圆环上运动，环心处通有一条细长的磁通管中，磁场限制在细管内，圆环上及其近区域的磁场为 $0$。设通过圆环的磁通量为 $\Phi$，则圆环邻近区域的矢量势可取为（在适当的标示中） \[ \Lambda(\rho, \phi, z) = \left( \Phi/2\pi\rho \right) e_\phi.~ \]

1. 写出粒子的哈密顿算符；
2. 求能量本征值，并讨论能级简并情况。

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　　 8.(15 分)设粒子的波函数为 $\psi(\theta, \varphi) = aY_{11}(\theta, \varphi) + bY_{21}(\theta, \varphi)$，其中 $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ 为球谐函数。并且 $|a|^2 + |b|^2 = 1$

　　 试求：

1. 角动量 $\hat{l}_z$ 的可能测量值及平均值；
2. $\hat{l}^2$ 的可能测量值及相应的几率。

　　 9.(15 分)设碱金属原子的价电子处于中心力场 $V(r)$ 中，哈密顿算符为 \[ \hat{H}_0 =p^2/2\mu + V(r)~ \] 守恒量完全集 $\{\hat{H}_0, \hat{l}^2, \hat{l}_z\}$ 的共同本征态为 $ \left\lvert nlm \right\rangle $，能量本征值为 $E_n$。

1. 若在 z 方向外加磁场 $B$，则价电子的哈密顿算符变为 \[ \hat{H} = \hat{H}_0 + \omega_L \hat{l}_z \quad (\omega_L = eB/2\mu c)~ \] 试求相应的能量本征态和能量本征值。
2. 求在强磁场 $B$ 时，原子从 $p$ 态 $(l = 1)$ 跃迁到 $s$ 态 $(l = 0)$ 的光谱线频率（跃迁过程中保持 $n$ 不变）。

　　 10.(15 分)设质量为 $m$ 的粒子作一维谐振子运动，圆频率为 $\omega$，能量本征值为 \[ E_n^{(0)} = \left(n + 1/2\right)\hbar\omega, \quad (n = 0,1,2,\cdots).~ \] 微扰哈密顿为 $\hat{H}' = -k\hat{x}$。试用微扰理论求能级的修正（准确到二级近似）。

　　 提示：非简并微扰论的能级修正公式为 \[ E_k = E_k^{(0)} + H'_{kk} + \sum_{l \neq k} \frac{H'_{kl} H'_{lk}}{E_k^{(0)} - E_l^{(0)}}.~ \] \[ x_{kl} = \sqrt{\hbar/m\omega}\left[\sqrt{(n+2)/ 2}\delta_{k, l+1} + \sqrt{n/2}\delta_{k, l-1}\right].~ \]