东南大学 2017 年 考研 量子力学

贡献者： 待更新

　　 声明：“该内容来源于网络公开资料，不保证真实性，如有侵权请联系管理员”

1. (15 分)

1. 李萨如轨迹是定常轨迹，无节点或过零。
2. 线形物体必须是刚体。
3. 时间反演对称性违反了物理规律。
4. 自然单位制是一种常用于高能物理的单位制，它能够简化方程。
5. 在经典力学中没有对应的力学量。

2. (共 30 分，每小题 3 分)选样题

1. $\{x_i,p_j\}$ 的共同本征函数为 (a) $\delta (x-a)\delta (y-b)(b)\delta (x-a)\delta (y-b)(c)\delta (x-a)\delta (p-b)(d)\delta (p-a)\delta (p-b)$
2. 无自旋单粒子在 $xy$ 平面内运动，力学量完全集可选为 (a) $\{p_x,p_y\}(b)\{r_x,r_y\}(c)\{r_x,r_y,p_x,p_y\}(d)\{L_z,p_x,p_y\}$
3. $A$ 和 $\beta$ 均为线性算符，$[\alpha ,\beta ]$ 可为 (a) $A\beta +\beta A(b)A\beta (c)\beta A+{\beta }^2(d)A\beta -\beta A$
4. 设 $\sigma =|\psi ⟩⟨\varphi |$，则 $\sigma$ 可为
   (a)$|\varphi ⟩⟨\psi |(b)-⟨\varphi |\psi ⟩(c)⟨\varphi |\psi ⟩d)|\psi ⟩⟨\varphi |$
5. 设 $S$ 为电子自旋向上态的最小投影数，视为：
   (a) $3\hslash /4(b)1/4(c)\hslash /4(d)1/2$
6. 角动量算符的对易式 $[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_z]$ 等于：
   (a) $i\hslash {\hat{L}}_z(b){\hat{L}}_z(c)0(d)i\hslash$
7. 设一粒自由粒子的能级 $E=0$，则其能级的简并度为：
   (a) $1(b)2(c)3(d)4$
8. 体系由 2 个全同玻色子组成，每个粒子可处于两个单粒子态中的任何一个，则体系可能的量子态数目为：
   (a) $1(b)2(c)3(d)4$
9. 以下哪一个量子体系存在散射态：
   (a) $\text{一维谐振子；}(b)\text{三维各向同性谐振子；}(c)\text{一维无限深方势井；}(d)\text{一维有限深方势井}$
10. 一下哪种现场必须要用电子自旋的概念才能解释：
    (a) $\text{反常 Zeeman 效应；}(b)\text{正常 Zeeman 效应；}(c)\text{Landau 能级；}(d)\text{AB 效应}$

3. 共 30 分，每小题 3 分)填空题

1. 对于中心力场中的无自旋粒子，能级 $E_{nl}$ 的简并度为 $\underset{―}{}$。
2. 设 $t=0$ 时刻的量子态 $|\psi (0)⟩$ 恰好为能量本征态，即 $\hat{H}|\psi (0)⟩=E|\psi (0)⟩$，则 $t$ 时刻的量子态可表为 $|\psi (t)⟩=\underset{―}{}$。
3. 带电粒子在电磁场中的哈密顿算符为 $\hat{H}=[(\hat{p}+qB/c{)}^2+{\hat{p}}_y^2+{\hat{p}}_z^2]/2\mu -q\epsilon \hat{y}$，除去，并列举两个守恒量：$\underset{―}{}$。
4. 设 $|x⟩$ 和 $|x^{\prime }⟩$ 为位置算符 $\hat{x}$ 的本征态，则 $⟨x|x^{\prime }⟩=\underset{―}{}$。
5. 设 $\dot{A}$ 为湮灭算符，$\dot{A}|a⟩=A_a|a⟩,\dot{A}|n⟩=A_n|n⟩,A_a\ne A_n$，则 $⟨m|n⟩=\underset{―}{}$。
6. 设一维谐振子的摄动频率为 $\omega$，则能量本征值为 $\underset{―}{}$。
7. 设态矢 $|\varphi ⟩=\mathrm{\Lambda }|\psi ⟩$，则 $⟨\varphi |=\underset{―}{}$。
8. 设球谐函数 $Y_{lm}(\theta ,\varphi )$ 表示 $\{j^2,j_z\}$ 的共同本征函数为 $\psi =(1/\sqrt{2})Y_{1,-1}(\theta ,\varphi )+(1/\sqrt{2})Y_{2,1}(\theta ,\varphi ),\text{则}{\hat{l}}^2\text{的平均值为}\underset{―}{}$。
9. 设量子体系某个表象的基矢量为 $|k⟩,(k=1,2,\dots )$，它具有正交归一性和完备性。若系的任意一个量子态可表示为 $|\psi ⟩=\sum a_k|k⟩$，则 $a_k$ 满足：$\underset{―}{}$
10. 在一维散射问题中，反射系数为 $r$，透射系数为 $t$，则 $r+t=$

4. (10 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子处于频率为 $\omega$ 的一维谐振子势中。基态 $|0⟩$ 满足 $⟨0|0⟩=0$。其中下降算符 $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha x+ip/\hslash a)$, $\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$。试求坐标表示中的基态波函数 ${\psi }_0(x)=⟨x|0⟩$。

5. (10 分)

　　 两个电子的交换算符为 ${\hat{P}}_{12}=({\hat{\sigma }}_1\cdot {\hat{\sigma }}_2+1)/2$，自旋单态和三重态分别记为 $|00⟩$ 和 $|11⟩$，$(M=0,\pm 1)$。试求 ${\hat{P}}_{12}|00⟩$, ${\hat{P}}_{12}|11⟩$。

6. (10 分)

　　 设氢原子在 $t<0$ 时处于基态 $|0⟩$，且 $⟨0|{\hat{x}}^2|0⟩={\sigma }^2$。此后受到微扰 $H^{\prime }=\lambda \dot{x}\delta (t)$ 的作用，在一级近似下，求 $t>0$ 时氢原子仍然保持在基态的几率。提示：量子跃迁几率公式为

　　 $$C_{jk}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_0^{t}d{t}^{\prime }{H}_{jk}(t^{\prime })\exp \left(i{\omega }_{jk}{t}^{\prime }\right)$$

7. (10 分)

　　 质量为 $m$ 的电子被限制在面积为 $S=L_x{L}_y$ 的平面内运动，外加一个 $z$ 方向的均匀磁场 $B$。电子的哈密顿算符为

　　 $$\hat{H}=p_z^2/2m+1/2m{\omega }^2{(\hat{y}-c{\hat{p}}_x/eB)}^2,(\omega =eB/mc)$$ 试求 iindaū 能级及其简并度

8. (10 分)

　　 设某微扰体系的某个能级 $E$ 是 4 重简并的。相应的正规归一的能量本征态为 $|i⟩(i=1,2,3,4)$。在这 4 个简并态所张成的子空间中，微扰哈密顿量的非零矩阵元为

　　 $$H_{12}-H_{21}=\lambda ,$$其它矩阵元 $H_{ij}$ 为零,试求能级 $E$ 的一级修正 $ϵ$。

9. (10 分)

　　 考虑某个量子态空间，$F$ 表象的正交归一基失组为 $|k⟩$，$G$ 表象的正交归一基失组为 $|a⟩$。这两个表象之间的变换矩阵元定义为 $S_{lk}=⟨a|k⟩$。证明变换矩阵 $S$ 为幺正矩阵，即 $S^{†}S=S{S}^{†}=I$（单位矩阵）。