东南大学 2015 年 考研 量子力学

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　　 1.以下对称性是否导致一个守恒量，如果是，请指出相应的守恒量(1)空间反演对称性:(2)空间平移对称性;(3)空间转动对称性;(4)时间反演对称性;(5)时间平移对称性.

　　 2.判断题

1. 一维线性谐振子的是子态空间是无穷维的
2. 全同 bose 子系统的波函数具有交换反对称性
3. Hermie 算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 不对易, 则 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 一定无共同本征态
4. 三维各向同性谐振子的所有能级均是简并的.
5. 中心力场无自旋的角动量一定是守恒量

　　 3.证明 Bloch 函数 $$\psi_k(r) = \exp\left(ik \cdot r\right) \phi_k(r), \quad \phi_k(r) = \phi_k(r + a),~$$ 是平移算符 $\hat{D}(a) = \exp\left(-ia \cdot \hat{p}/\hbar\right)$ 的本征态。相应的本征值为 $ \exp\left(-ik \cdot a\right) $。

　　 4.一质量为 $m$ 带电量为 $q$ 的粒子在均匀电场 $\mathbf{E} = (0, \epsilon, 0)$ 和均匀磁场 $\mathbf{B} = (0, 0, B)$ 中运动，磁场的矢量势选为 $\mathbf{A} = (-By, 0, 0)$。

1. 写出粒子的哈密顿算符 $\hat{H}$，并证明动量 $\hat{p}_x$ 和 $\hat{p}_z$ 为守恒量。
2. 求守恒量完全集 $\{\hat{H}, \hat{p}_x, \hat{p}_z\}$ 的共同本征函数及相应的本征值。

　　 5.设 $\hat{\sigma}$ 为泡利算符，$\hat{\sigma}_z$ 的归一化本征态为 $\lvert + \rangle,$ 即 $\hat{\sigma}_z \lvert \pm \rangle = \pm \lvert \pm \rangle$。

1. 利用 $\hat{\sigma}_z \hat{\sigma}_x = -\hat{\sigma}_x \hat{\sigma}_z = i\hat{\sigma}_y$ 和 $\hat{\sigma}_x^2 = 1$ 证明：$\hat{\sigma}_x \lvert + \rangle = e^{i\alpha}\lvert - \rangle$，($\alpha^* = \alpha$);
2. 取 $\alpha = 0$，求 $\hat{\sigma}_x \lvert - \rangle$, $\hat{\sigma}_y \lvert + \rangle$。

　　 6.一维线性谐振子振动频率为 $\omega$，初态 $$\psi(x, 0) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x)~$$，其中 $\varphi_n(x)$ 为能量本征函数。已知 $$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2 = 1~$$。

1. 求 $\psi(x, t)$。
2. 证明 $\psi(x, t) = \psi(x, 0) $。

　　 7.质量为 $m$ 的粒子受到势 $V(\vec{r})$ 的作用，其中 $V(\vec{r}) = V(-\vec{r})$ 已知 $\psi(\vec{r})$ 是本征值 $E$ 所对应的一个能量本征函数。证明：

1. $\psi(\vec{r})$ 也是 $E$ 对应的本征函数，能保证 $E$ 一定是简并态吗？
2. 找出一个能级 $E$ 对应的本征函数 $\phi(\vec{r})$ 要求有确定守称。

　　 8.设体系的未微扰哈密顿量 $H_0$ 和微扰哈密顿量 $H'$ 分别为 $$H_0 = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & 0 \\ 0 & E_2^{(0)} \end{pmatrix}, \quad (E_1^{(0)} \neq E_2^{(0)}), H' = \begin{pmatrix} a & b \\ b^* & a \end{pmatrix}.~$$

　　 试用微扰论求能级的修正（准确到二级近似）。
提示：非简并微扰论的能级修正公式为 $$E_k = E_k^{(0)} + \langle k | H' | k \rangle + \sum_{n \neq k} \frac{\langle k | H' | n \rangle \langle n | H' | k \rangle}{E_k^{(0)} - E_n^{(0)}}.~$$