东南大学 2014 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)下列叙述是否正确：
（1）电子自旋态空间是 2 维的
（2）全同费米子系统的波函数具有交换反对称性
（3）氢原子的基态是简并的
（4）宇称不是可观测量
（5）每一个可观测量均可以用一个幺正算符表示。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子作一运动，儿率守恒定理为 $\partial \rho /\partial t+\partial j/\partial x=0$,其中：$\rho (x,t)=|\psi {|}^2,j(x,t)=-i\hslash /2m({\psi }^{\ast }\partial \psi /\partial x-\psi \partial {\psi }^{\ast }/\partial x).$

1. 若粒子处于定志 $\psi =\varphi (x)\exp (-iEt/\hslash )$, 试证:$j=c$(与 $x,t$ 无关的常数)，.
2. 若自由拉子处于动星本征态 $\psi (x,t)=\exp (ipx/\hslash -iEt/\hslash )$, 试证: $j=p/m.$

　　 3.(15 分)试在坐标表象中写出:

1. 位置算符 $\hat{x}$ 的本征函数；
2. 动量算符 ${\hat{p}}_x$ 的本征函数；
3. $[\hat{x},{\hat{p}}_y,{\hat{p}}_z]$ 的共同本征函数。

　　 4.(15 分)一维各向同性谐振子的哈密顿算符为$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2),$$ 试求能量本征值及其简并度。

　　 5.(15 分)假设该体系有两个彼此不对易的守恒量 $\hat{G}$ 和 $\hat{H}$，即 $$[\hat{F},\hat{H}]=0,[\hat{G},\hat{H}]=0,[\hat{F},\hat{G}]\ne 0$$。 试证明该体系至少有一条能级是简并的。

　　 6.(15 分)假设粒子的波函数为 $$\psi (\theta ,\varphi )=a{Y}_1(\theta ,\varphi )+b{Y}_{20}(\theta ,\varphi ),(|a{|}^2+|b{|}^2=1)$$。试求：

1. ${\hat{L}}_z$ 的可能值及其平均值；
2. ${\hat{L}}^2$ 的可能值及对应的几率。

　　 7.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E>0$ 从左入射，碰到势 $V(x)=y\delta (x)(y>0)$。

1. 求入射几率流密度 $j_{(}i)$，反射几率流密度 $j_{(}r)$，透射几率流密度 $j_{(}x)$ 的表达式；
2. 试证波函数 $\psi$ 满足 ${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=\left(2m\gamma /{\hslash }^2\right)\psi (0)$；
3. 求透射系数 $t$。

　　 8.(15 分)设体系由 $2$ 个全同粒子组成，每个粒子可能处于 $2$ 个的粒子态 ${\psi }_1(r)$ 和 ${\psi }_2(r)$ 中的任意一个。分以下两种情况写出体系可能的波函数:(1)全同玻色子:(2)全同费米子。

　　 9.(15 分)一质量为 $m$，空间位置固定的电子处于沿 $x$ 方向的均匀磁场 $B$ 中，其哈密顿算符（不计空间运动）为 $$H=\left(eB/mc\right){\hat{s}}_x,$$ 其中 $\hat{s}$ 为电子自旋角动量算符。已知 $t=0$ 时电子的自旋态为 ${\hat{s}}_z$ 的本征态。

　　 本征值为 $h/2\pi$，试求：

1. $t>0$ 时该电子的自旋态。
2. $t(>0)$ 时刻 $\hat{s}$ 的平均值。

　　 提示：泡利矩阵为 $${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

　　 10.(15 分) 体系未微扰时密度矩阵为 $\hat{\rho }$，微扰后密度矩阵 ${\hat{\rho }}^{\prime }(t)$ 为 $${\hat{H}}^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }{e}^{-iHt/\hslash }(T>0),$$ ${\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩$， $$⟨n^{\prime }|n⟩={\delta }_{n{n}^{\prime }},\sum _n|n⟩⟨n|=1$$。 已知 $t=-\mathrm{\infty }$ 时体系处在 ${\hat{H}}_0$ 的非简并本征态 $|k⟩$。则 $|\psi (-\mathrm{\infty })⟩=|k⟩$ 试利用一阶微扰近似计算体系跃迁的几率幅 $C_{nk}(t)$： $$C_{nk}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}d{t}^{\prime }{\mathcal{H}}_{nk}^{\prime }(t^{\prime })\exp \left(i{\omega }_{nk}{t}^{\prime }\right),$$ 其中 $\hslash {\omega }_{nk}=E_n-E_k,(n\ne k)$。

1. 求 $t=0$ 时刻体系跃迁到本征态 $|n⟩(n\ne k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(0)$；
2. 求 $t=0$ 时刻体系跃迁到本征态 $|n⟩(n\ne k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(+\mathrm{\infty })$；
3. 求 $t=+\mathrm{\infty }$ 时刻的态 $|\psi (+\mathrm{\infty })⟩$（在此小题中取 $T\to \mathrm{\infty }$）。