东南大学 2014 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)下列叙述是否正确：
（1）电子自旋态空间是 2 维的
（2）全同费米子系统的波函数具有交换反对称性
（3）氢原子的基态是简并的
（4）宇称不是可观测量
（5）每一个可观测量均可以用一个幺正算符表示。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子作一运动，儿率守恒定理为 $\partial \rho/\partial t + \partial j/\partial x = 0$,其中：$\rho(x, t) = |\psi|^2,j(x, t) = -i\hbar/2m \left( \psi^* \partial \psi/\partial x - \psi \partial \psi^*/\partial x \right).$

1. 若粒子处于定志 $\psi = \phi(x) \exp\left(-iEt/\hbar\right) $, 试证:$j=c$(与 $x,t$ 无关的常数)，.
2. 若自由拉子处于动星本征态 $\psi(x, t) = \exp\left(ipx/\hbar - iEt/\hbar\right) $, 试证: $j = p/m.$

　　 3.(15 分)试在坐标表象中写出:

1. 位置算符 $\hat{x}$ 的本征函数；
2. 动量算符 $\hat{p}_x$ 的本征函数；
3. $[\hat{x}, \hat{p}_y,\hat{p}_z]$ 的共同本征函数。

　　 4.(15 分)一维各向同性谐振子的哈密顿算符为$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) + \frac{1}{2} m\omega^2 \left( x^2 + y^2 \right),~$$ 试求能量本征值及其简并度。

　　 5.(15 分)假设该体系有两个彼此不对易的守恒量 $\hat{G}$ 和 $\hat{H}$，即 $$\left[\hat{F}, \hat{H}\right] = 0, \quad \left[\hat{G}, \hat{H}\right] = 0, \quad \left[\hat{F}, \hat{G}\right] \neq 0~$$。 试证明该体系至少有一条能级是简并的。

　　 6.(15 分)假设粒子的波函数为 $$\psi(\theta, \phi) = a Y_1(\theta, \phi) + b Y_{20}(\theta, \phi), (\lvert a \rvert^2 + \lvert b \rvert^2 = 1)~$$。试求：

1. $\hat{L}_z$ 的可能值及其平均值；
2. $\hat{L}^2$ 的可能值及对应的几率。

　　 7.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E > 0$ 从左入射，碰到势 $V(x) = y\delta(x) \quad (y > 0)$。

1. 求入射几率流密度 $j_(i)$，反射几率流密度 $j_(r)$，透射几率流密度 $j_(x)$ 的表达式；
2. 试证波函数 $\psi$ 满足 $\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = \left(2m\gamma/\hbar^2\right) \psi(0)$；
3. 求透射系数 $t$。

　　 8.(15 分)设体系由 $2$ 个全同粒子组成，每个粒子可能处于 $2$ 个的粒子态 $\psi_1(r)$ 和 $\psi_2(r)$ 中的任意一个。分以下两种情况写出体系可能的波函数:(1)全同玻色子:(2)全同费米子。

　　 9.(15 分)一质量为 $m$，空间位置固定的电子处于沿 $x$ 方向的均匀磁场 $B$ 中，其哈密顿算符（不计空间运动）为 $$H = \left( eB/mc \right) \hat{s}_x,~$$ 其中 $\hat{s}$ 为电子自旋角动量算符。已知 $t = 0$ 时电子的自旋态为 $\hat{s}_z$ 的本征态。

　　 本征值为 $h/2\pi$，试求：

1. $t > 0$ 时该电子的自旋态。
2. $t(> 0)$ 时刻 $\hat{s}$ 的平均值。

　　 提示：泡利矩阵为 $$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.~$$

　　 10.(15 分) 体系未微扰时密度矩阵为 $\hat{\rho}$，微扰后密度矩阵 $\hat{\rho}'(t)$ 为 $$\hat{H}'(t) = \Lambda e^{-iHt/\hbar} \quad (T > 0),~$$ $\hat{H}_0 \lvert n \rangle = E_n \lvert n \rangle$， $$\langle n' | n \rangle = \delta_{nn'}, \quad \sum_n |n\rangle \langle n| = 1~$$。 已知 $t = -\infty$ 时体系处在 $\hat{H}_0$ 的非简并本征态 $ \left\lvert k \right\rangle $。则 $\lvert \psi(-\infty) \rangle = \lvert k \rangle$ 试利用一阶微扰近似计算体系跃迁的几率幅 $C_{nk}(t)$： $$C_{nk}^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^{t} dt' \, \mathcal{H}_{nk}'(t') \exp\left(i\omega_{nk}t'\right) ,~$$ 其中 $\hbar\omega_{nk} = E_n - E_k, \ (n \neq k)$。

1. 求 $t = 0$ 时刻体系跃迁到本征态 $ \left\lvert n \right\rangle \ (n \neq k) $ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(0)$；
2. 求 $t = 0$ 时刻体系跃迁到本征态 $ \left\lvert n \right\rangle \ (n \neq k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(+\infty)$；
3. 求 $t = +\infty$ 时刻的态 $ \left\lvert \psi(+\infty) \right\rangle $（在此小题中取 $T \to \infty$）。