东南大学 2013 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确：

　　 (1) 若厄密算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 对易，则它们必有共同本征态；

　　 (2) 仅当体系处在定态时，守恒量的平均值才不随时间变化；

　　 (3) 一维谐振子的能量本征态既有束缚态，也有散射态；

　　 (4) 厄密算符的本征值必为正数；

　　 (5) 空间平移对称性导致动量守恒。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于 $\delta$ 势阱中，$V(x)=-\gamma \delta (x)$, $(\gamma >0)$。

　　 (1) 试根据 Schrödinger 方程证明 $x=0$ 处波函数的跃变条件为 $${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=-\left(2m\gamma /{\hslash }^2\right)\psi (0);$$

　　 (2) 试求束缚态能级和相应的归一化能量本征函数。

　　 3.(15 分)一质量为 $m$ 的粒子以能量 $E$ 从左往右入射，受到以下势场的散射 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}{V}_0,& (x<0)\\ \\ 0,& (x>0)\end{array}(V_0>0)$$

　　 在以下两种情况下计算反射系数和透射系数： (1) $E>V_0$； (2) $0<E<V_0$。

　　 提示：一维几率流密度公式为 $$j(x)=\left(\hslash /i2m\right)({\psi }^{\ast }\partial \psi /\partial x-\psi \partial {\psi }^{\ast }/\partial x)$$

　　 4.(15 分)试证 Bloch 函数 $${\psi }_k(r)=\exp (ik\cdot r){\varphi }_k(r),{\varphi }_k(r)={\varphi }_k(r+a),$$ 是平移算符 $\hat{D}(a)=\exp (-ia\cdot \hat{p}/\hslash )$ 的本征态，相应的本征值为 $\exp (-ik\cdot a)$。

　　 5.(15 分)设体系的 2 个粒子可处于 3 个单粒子态 ${\varphi }_i(q),{\varphi }_j(q),{\varphi }_k(q)$。在以下三种情况下求体系可能的量子态数目： (1) 不同粒子； (2) 全同 Bose 粒子； (3) 全同 Fermi 粒子。

　　 6.(15 分)一质量为 $m$ 带电量为 $q$ 的粒子在均匀电场 $E=(0,ϵ,0)$ 和均匀磁场 $B=(0,0,B)$ 中运动，磁场的矢量势选为 $A=(-By,0,0)$。

　　 (1) 写出粒子的哈密顿算符 $\hat{H}$，并证明动量 ${\hat{p}}_x$ 和 ${\hat{p}}_z$ 均为守恒量；

　　 (2) 求守恒量完全集 $(\hat{H},{\hat{p}}_x,{\hat{p}}_z)$ 的共同本征函数及相应的本征值。

　　 7.(15 分)两个电子的总角动量为 $\hat{S}={\hat{s}}_1+{\hat{s}}_2$，令 ${\hat{P}}_{12}=(1+{\hat{\sigma }}_1\cdot {\hat{\sigma }}_2)/2$，试求：

　　 (1) ${\hat{P}}_{12}^2$;

　　 (2) ${\hat{P}}_{12}^2-{\hat{S}}^2/{\hslash }^2$;

　　 (3) ${\hat{P}}_{12}|SM⟩$，其中 $|SM⟩$ 为 ${\hat{S}}^2$ 和 ${\hat{S}}_z$ 的共同本征态。

　　 8.(15 分)某一维简单晶格的原子总数为 $N$，相邻原子间距离为 $a$，在简谐近似下的哈密顿算符可表为 $$\hat{H}=\sum _k({\hat{a}}_k^{†}{\hat{a}}_k+\frac{1}{2})\hslash {\bar{\omega }}_k$$ 其中 ${\hat{a}}_k$ 为声子的消灭算符，$[{\hat{a}}_k,{\hat{a}}_k^{†}]={\delta }_{k{k}^{\prime }}$。已知声子的色散关系为 $${\bar{\omega }}_k={\bar{\omega }}_0|\sin \left(ka/2\right)|,(-\pi /a\le k<\pi /a)$$ 试求： (1) 体系的基态能 $E_0$; (2) 声子的态密度 $g(\omega )$。

　　 9.(15 分)设一维谐振子的能量本征态为 $|n⟩,(n=0,1,2,\dots )$，微扰哈密顿算符为 ${\hat{H}}^{\prime }=-k\hat{x}$。试用微扰论求能级的修正（准确到二级近似）。提示：非简并微扰论的能级修正公式为： $${\hat{E}}_k=E_k^{(0)}+⟨k|{\hat{H}}^{\prime }|k⟩+\sum _{m\ne k}\frac{⟨k|{\hat{H}}^{\prime }|m⟩⟨m|{\hat{H}}^{\prime }|k⟩}{E_k^{(0)}-E_m^{(0)}}$$ $$⟨n^{\prime }|\hat{x}|n⟩=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}(\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{n^{\prime },n+1}+\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{n^{\prime },n-1})$$

　　 10.(15 分)一量子体系哈密顿算符为 ${\hat{H}}_0$，${\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩$，$⟨n^{\prime }|n⟩={\delta }_{n{n}^{\prime }}$。

　　 $$\sum _n|n⟩⟨n|=1,t=0$$ 时刻体系处于 $|k⟩$ 态，受到以下微扰作用

　　 $${\hat{H}}^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& (t<0)\\ \\ {\hat{H}}^{\prime },& (t>0)\end{array}$$

　　 试在一级近似下求 $t\to \mathrm{\infty }$ 时的跃迁速率 ${\omega }_{k^{\prime }k}$。

　　 提示：量子跃迁几率公式 $$P_{k{k}^{\prime }}(t)=\frac{1}{{\hslash }^2}{\left|{\int }_0^{t}d{t}^{\prime }{H}_{k^{\prime }k}{e}^{i{\omega }_{k^{\prime }k}{t}^{\prime }}\right|}^2,{\omega }_{k^{\prime }k}=(E_{k^{\prime }}-E_k)/\hslash$$

　　 $$\frac{{\sin }^2\alpha x}{x^2}\to \pi \alpha \delta (x),(\alpha \to \mathrm{\infty }),$$