东南大学 2012 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确:(1)电子的自旋态空间是 3 维的:(2)全同玻色子体系的波函数具有交换反对称性;(3)时间反演对称性导致能量守恒;(4)三维各向同性谐振子的所有能级均是非简并的;(5)处于中心力场中的无自旋单粒子的角动量一定是守恒量。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于以下势阱中： $$V(x)=m{\omega }^2{x}^2/2,(x>0);$$ $$V(x)=\mathrm{\infty },(x<0)$$ 试求能量本征值。

　　 3.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E>0$ 从左入射，碰到势 $V(x)=\gamma \delta (x)(\gamma >0)$。

1. 试用公式 $$j(x,t)=-(i\hslash /2m)({\psi }^{\ast }\partial \psi /\partial x-\psi \partial {\psi }^{\ast }/\partial x)$$ 求入射几率流密度 $j_i$，反射几率流密度 $j_r$，透射几率流密度 $j_t$ 的表达式；
2. 试证明波函数 $\psi$ 满足 $${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=(2m\gamma /{\hslash }^2)\psi (0);$$
3. 求透射系数 $t$。

　　 4.(15 分)试利用测不准关系估算:(1)一维谐振子的基态能:(2)氢原子的基态能。

　　 5.(15 分)粒子的轨道角动量算符定义为： $${\hat{L}}_x=\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,{\hat{L}}_y=\hat{z}{\hat{p}}_x-\hat{x}{\hat{p}}_z,{\hat{L}}_z=\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x$$ 试利用基本对易关系 $[{\hat{x}}_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=i\hslash {\delta }_{\alpha \beta }$ 求对易式： $$[{\hat{l}}_x,\hat{y}][{\hat{l}}_x,{\hat{p}}_y],[{\hat{l}}_x,{\hat{l}}_y]$$

　　 6.(15 分)二维各向同性谐振子的哈密顿算符为： $$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$$ 试求能量本征值及简并度。

　　 7.(15 分)一质量为 $m$，空间位置固定的电子处于沿 $x$ 方向的均匀磁场 $B$ 中，其哈密顿算符（不计轨道运动）为 $$\hat{H}=(eB/mc){\hat{S}}_x,$$ 其中 $\hat{S}$ 为电子自旋角动量算符。已知 $t=0$ 时电子的自旋态为 $S_s$ 的本征态，相应的本征值为 $\hslash /2$，试求：

1. $t(>0)$ 时刻该电子的自旋态。
2. $t(>0)$ 时刻 $S_s$ 的平均值。

　　 提示：泡利矩阵为 $${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

　　 8.(15 分)设锂金属原子的价电子的哈密顿算符为 $${\hat{H}}_0=({\hat{p}}^2/2\mu )+V(r),$$ 守恒量完全集合 $\{{\hat{H}}_0,{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_z\}$ 的共同本征态为 $|n,lm⟩$，能量本征值为 $E_{n_{r}l}$。

1. 若沿 $z$ 方向外加磁场 $B$，则价电子的哈密顿算符变为 $$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\omega }_L{\hat{l}}_z({\omega }_L=eB/2\mu c),$$ 试求相应的能量本征态和能量本征值。
2. 求存在强磁场 $B$ 时，原子从 $p$ 态 ($l=1$) 跃迁到 $s$ 态 ($l=0$) 的光谱线频率（跃迁过程中 $n_r$ 不变）。

　　 9.(15 分)体系未扰动哈密顿算符为 ${\hat{H}}_0$，微扰哈密顿算符 ${\hat{H}}^{\prime }(t)=\hat{A}{e}^{-|t|/\tau }$, $(\tau >0)$。${\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩$，$⟨n|n^{\prime }⟩={\delta }_{n{n}^{\prime }},\sum _n|n⟩⟨n|=1$。已知 $t=-\mathrm{\infty }$ 时体系处在 ${\hat{H}}_0$ 的非简并本征态 $|k⟩$，即 $\psi (-\mathrm{\infty })=|k⟩$。试利用一级近似下量子跃迁的几率幅公式

　　 $$C_{nk}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}d{t}^{\prime }{\hat{H}}_{nk}^{\prime }(t^{\prime })e^{i{\omega }_{nk}{t}^{\prime }},(\hslash {\omega }_{nk}=E_n-E_k,n\ne k),$$

1. 求 $t=0$ 时刻体系跃迁到本征态 $|n⟩(n\ne k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(0)$；
2. 求 $t=+\mathrm{\infty }$ 时刻体系跃迁到本征态 $|n⟩(n\ne k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(+\mathrm{\infty })$；
3. 求 $t=+\mathrm{\infty }$ 时刻的态 $\psi (+\mathrm{\infty })$（在此小题中取 $\tau \to +\mathrm{\infty }$）。

　　 10.(15 分)10.（15 分）某量子力学系统的哈密顿算符为 $\hat{H}$，基态为 $|0⟩$，基态能为 $E_0$。定义 $|n⟩={\hat{A}}^n|0⟩,(n=1,2,...)$。 其中算符 $\hat{A}$ 满足对易关系 $$[\hat{H},\hat{A}]=\omega \hat{A},(\omega >0)$$

　　 (1) 试证 $|1⟩$ 也是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_1$;

　　 (2) 试证 $|2⟩$ 也是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_2$;

　　 (3) 试证 $|n⟩$ 也是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_n$。