东南大学 2012 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确:(1)电子的自旋态空间是 3 维的:(2)全同玻色子体系的波函数具有交换反对称性;(3)时间反演对称性导致能量守恒;(4)三维各向同性谐振子的所有能级均是非简并的;(5)处于中心力场中的无自旋单粒子的角动量一定是守恒量。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于以下势阱中： \[ V(x) = m \omega^2 x^2/2, \quad (x > 0);~ \] \[ V(x) = \infty, \quad (x < 0)~ \] 试求能量本征值。

　　 3.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E > 0$ 从左入射，碰到势 $V(x) = \gamma \delta(x) (\gamma > 0)$。

1. 试用公式 \[ j(x,t) = -(i\hbar/2m)(\psi^* \partial \psi/\partial x - \psi \partial \psi^*/\partial x)~ \] 求入射几率流密度 $j_i$，反射几率流密度 $j_r$，透射几率流密度 $j_t$ 的表达式；
2. 试证明波函数 $\psi$ 满足 \[ \psi'(0^+) - \psi'(0^-) = (2m\gamma/\hbar^2)\psi(0);~ \]
3. 求透射系数 $t$。

　　 4.(15 分)试利用测不准关系估算:(1)一维谐振子的基态能:(2)氢原子的基态能。

　　 5.(15 分)粒子的轨道角动量算符定义为： \[ \hat{L}_x = \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x~ \] 试利用基本对易关系 $[\hat{x}_\alpha, \hat{p}_\beta] = i\hbar \delta_{\alpha\beta}$ 求对易式： \[ [\hat{l}_x, \hat{y}] \quad [\hat{l}_x, \hat{p}_y],\quad[\hat{l}_x, \hat{l}_y]~ \]

　　 6.(15 分)二维各向同性谐振子的哈密顿算符为： \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2 + y^2)~ \] 试求能量本征值及简并度。

　　 7.(15 分)一质量为 $m$，空间位置固定的电子处于沿 $x$ 方向的均匀磁场 $B$ 中，其哈密顿算符（不计轨道运动）为 \[ \hat{H} =(eB/mc)\hat{S}_x,~ \] 其中 $\hat{S}$ 为电子自旋角动量算符。已知 $t=0$ 时电子的自旋态为 $S_s$ 的本征态，相应的本征值为 $\hbar / 2$，试求：

1. $t(>0)$ 时刻该电子的自旋态。
2. $t(>0)$ 时刻 $S_s$ 的平均值。

　　 提示：泡利矩阵为 \[ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.~ \]

　　 8.(15 分)设锂金属原子的价电子的哈密顿算符为 \[ \hat{H}_0 = (\hat{p}^2/2\mu) + V(r),~ \] 守恒量完全集合 $\{\hat{H}_0, \hat{L}^2, \hat{L}_z\}$ 的共同本征态为 $\lvert n,l m \rangle$，能量本征值为 $E_{n_rl}$。

1. 若沿 $z$ 方向外加磁场 $B$，则价电子的哈密顿算符变为 \[ \hat{H} = \hat{H}_0 + \omega_L \hat{l}_z \quad (\omega_L = eB/2\mu c),~ \] 试求相应的能量本征态和能量本征值。
2. 求存在强磁场 $B$ 时，原子从 $p$ 态 ($l = 1$) 跃迁到 $s$ 态 ($l = 0$) 的光谱线频率（跃迁过程中 $n_r$ 不变）。

　　 9.(15 分)体系未扰动哈密顿算符为 $\hat{H}_0$，微扰哈密顿算符 $\hat{H}'(t) = \hat{A} e^{-|t|/\tau}$, $(\tau > 0)$。$\hat{H}_0 \left\lvert n \right\rangle = E_n \left\lvert n \right\rangle $，$\langle n \lvert n' \rangle = \delta_{nn'},\sum_n |n\rangle \langle n| = 1$。已知 $t = -\infty$ 时体系处在 $\hat{H}_0$ 的非简并本征态 $\lvert k \rangle$，即 $\psi(-\infty) = \lvert k \rangle$。试利用一级近似下量子跃迁的几率幅公式

　　 \[ C_{nk}^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^{t} dt' \hat{H}_{nk}'(t') e^{i\omega_{nk}t'}, \quad (\hbar \omega_{nk} = E_n - E_k, n \neq k),~ \]

1. 求 $t = 0$ 时刻体系跃迁到本征态 $\lvert n \rangle (n \neq k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(0)$；
2. 求 $t = +\infty$ 时刻体系跃迁到本征态 $\lvert n \rangle (n \neq k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(+\infty)$；
3. 求 $t = +\infty$ 时刻的态 $\psi(+\infty)$（在此小题中取 $\tau \to +\infty$）。

　　 10.(15 分)10.（15 分）某量子力学系统的哈密顿算符为 $\hat{H}$，基态为 $|0\rangle$，基态能为 $E_0$。定义 $ \left\lvert n \right\rangle = \hat{A}^n|0\rangle, (n=1,2,...)$。 其中算符 $\hat{A}$ 满足对易关系 $$[\hat{H}, \hat{A}] = \omega \hat{A}, \quad (\omega > 0)~$$

　　 (1) 试证 $|1\rangle$ 也是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_1$;

　　 (2) 试证 $|2\rangle$ 也是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_2$;

　　 (3) 试证 $|n\rangle$ 也是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_n$。