东南大学 2011 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确：

1. 仅当体系处在定态时，守恒量的平均值才不随时间变化；
2. 若厄密算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 不对易，则它们一定没有共同本征态；
3. 一维谐振子的量子态空间是无穷维的；
4. 如体系处于力学量 $\hat{A}$ 的本征态，则测量 $\hat{A}$ 必会得到一个确定值；
5. 空间平移对称性导致宇称守恒。

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于一维无限深方势井中，$V(x)=0$，$(|x|<a/2)$；$V(x)=\mathrm{\infty }$，$(|x|>a/2)$。试求能量本征值和归一化的本征函数。

　　 3.(15 分)一维谐振子的哈密顿量为 $$\hat{H}={\hat{p}}^2/2m+m{\omega }^2{\hat{x}}^2/2,$$ 定义 $$\hat{a}\equiv (\alpha \hat{x}+i\hat{p}/\hslash \alpha )/\sqrt{2},(\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }).$$，试证明：

1. $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$；
2. $\hat{H}=(\hat{N}+1/2)\hslash \omega$，其中 $\hat{N}$ 定义为 $\hat{N}\equiv {\hat{a}}^{†}\hat{a}$；
3. 若 $|\hat{n}⟩$ 为 $\hat{N}$ 的本征态，即 $\hat{N}|\hat{n}⟩=n|\hat{n}⟩$，则 ${\hat{a}}^{†}|n⟩$ 也是 $\hat{N}$ 的本征态，并求相应的本征值。

　　 4.(15 分)一维谐振子哈密顿量为 $$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{\hat{x}}^2}{2},$$ 定义 $\hat{X}(t)=e^{i\hat{H}t/\hslash }\hat{x}{e}^{-i\hat{H}t/\hslash }$，试证明：

1. $d\hat{X}(t)/dt=\hat{P}(t)/m,d\hat{P}(t)/dt=-m{\omega }^2\hat{X}(t)$；
2. $\hat{X}(t)=\hat{x}\cos \left(\omega t\right)+(\hat{p}/m\omega )\sin \left(\omega t\right)$；
3. $\hat{P}(t)=\hat{p}\cos \left(\omega t\right)-m\omega \hat{x}\sin \left(\omega t\right)$。

　　 5.(15 分)设 $|n⟩$ 是某体系的一个非简并的能量本征态，试证明 $|n⟩$ 一定是该体系所有守恒量的共同本征态。

　　 6.(15 分)一质量为 $m$ 带电量为 $q$ 的粒子在均匀磁场 $\mathbf{B}=(0,0,B)$ 中运动，磁场的矢量势选为 $\mathbf{A}=(-By,0,0)$，粒子的哈密顿算符为 $\hat{H}=(1/2m)(\hat{p}-q\mathbf{A}/c{)}^2$.

1. 动量 ${\hat{p}}_x,{\hat{p}}_y,{\hat{p}}_z$ 中哪些是守恒量？
2. 求粒子的能量本征值。

　　 7.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E$ 从左入射，受势场的散射：$V(x)=0,(x<0);V(x)=V_0,(x>0)$，其中 $E>V_0>0$，计算反射系数和透射系数。提示：几率流密度公式为 $j(x)=(\hslash /i2m)({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime }-{\psi }^{{\ast }^{\prime }}\psi )$.

　　 8.(15 分)2 个全同粒子组成体系的哈密顿量为 $\hat{H}={\hat{h}}_1+{\hat{h}}_2,{\hat{h}}_i={\hat{p}}_i^2/2m+m{w}^2{x}_i^2/2,(i=1,2)$. ${\hat{h}}_i{\varphi }_n(x_i)={ϵ}_n{\varphi }_n(x_i),{ϵ}_n=(n+1/2)\hslash \omega ,(n=0,1,\cdots )$ 分以下两种情况写出体系的基态波函数和基态能量:

1. Bose 子；
2. Fermi 子。

　　 9.(15 分)设 $\hat{\sigma }$ 为泡利算符，${\hat{\sigma }}_z$ 的归一化本征态为 $|\pm ⟩$，即 ${\hat{\sigma }}_z|\pm ⟩=\pm |\pm ⟩$.

1. 利用 ${\hat{\sigma }}_z{\hat{\sigma }}_x=-{\hat{\sigma }}_x{\hat{\sigma }}_z=i{\hat{\sigma }}_y$ 和 ${\hat{\sigma }}_z^2=1$ 证明 ${\hat{\sigma }}_z|+⟩=e^{i\alpha }|-⟩$，$({\alpha }^{\ast }=\alpha )$；
2. 取 $\alpha =0$，求 ${\hat{\sigma }}_z|\pm ⟩$，${\hat{\sigma }}_y|\pm ⟩$。

　　 10.(15 分)一维谐振子的能量本征方程为 $\hat{H}|n⟩=E_n^{(0)}|n⟩$ 其中 $\hat{H}={\hat{p}}^2/2m+m{w}^2{x}^2/2$，$E_n^{(0)}=(n+1/2)\hslash \omega$，$⟨n|\hat{x}|k⟩=(\sqrt{k+1/2}{\delta }_{n,k+1}+\sqrt{k/2}{\delta }_{n,k-1})/\alpha$。体系受到微扰哈密顿 ${\hat{H}}^{\prime }=\lambda \hat{x}$ 的作用，试用以下公式计算能级 $E_k^{(0)}$ 的修正 $$E_k\approx E_k^{(0)}+⟨k|{\hat{H}}^{\prime }|k⟩+\sum _{n\ne k}\frac{|⟨n|{\hat{H}}^{\prime }|k⟩{|}^2}{E_k^{(0)}-E_n^{(0)}}.$$