东南大学 2010 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)设粒子能级 $E_n$ 的简并度为 $f_n$，归一化的能量本征函数为 $\phi_{n\alpha}(r)$ ($\alpha = 1,2,\dots,f_n$)，$t = 0$ 时刻粒子的归一化波函数为 $\psi(r,0) = \sum_{n\alpha} c_{n\alpha} \phi_{n\alpha}(r)$，试求：

1. $t$ 时刻粒子的波函数 $\psi(r,t)$；
2. $t$ 时刻粒子的能量平均值 $ \overline{H} $。

　　 2.(15 分)设 $\psi_1(x)$ 和 $\psi_2(x)$ 均为与能级 $E$ 对应的能量本征函数，试证：

1. $\psi_1 \psi_2' - \psi_1' \psi_2 = c$ (常数)；
2. 若 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 均为束缚态波函数，则 $\psi_1 \psi_2' = \psi_1' \psi_2$。

　　 3.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于一维势场中 $V(x) = 0, (0 < x < a)$, $V(x) = \infty, (x < 0, x > a)$，试求能量本征值和归一化的能量本征函数。

　　 4.(15 分)设粒子的能量 $E > V_0$ 从左入射，碰到势场 $V(x) = 0, (x < 0)$, $V(x) = V_0, (x > a)$，在 $0 < x < a$ 的区域 $V(x)$ 是连续有限的函数，反射系数和透射系数分别为 $r$ 和 $t$。试证明：$r + t = 1$。

　　 提示：几率流密度公式为 $j(x) = -(i\hbar/2m)(\psi^*\psi' - \psi\psi^{*'})$。

　　 5.(15 分)试用测不准关系估计以下体系的基态能量：

1. 质量为 $m$ 的粒子处于长度为 $a$ 的一维无限深方势阱中；
2. 频率为 $\omega$ 的一维谐振子。

　　 6.(15 分)设平面转子的哈密顿量为 $\hat{H} = \hat{l}_z^2/2I$, ($\hat{l}_z = -i\hbar \partial/ \partial \varphi$)，试求归一化的能量本征函数、能量本征值、能级简并度。

　　 7.(15 分)设量子体系的哈密顿量为 $\hat{H}$，力学量算符 $\hat{A}$ 不显含时间 $t$，$t$ 时刻的量子态为 $\psi(t)$，$\hat{A}$ 的平均值为 $\overline{A}(t)$，求证： \[ i\hbar d\overline{A}(t)/dt = \overline{[\hat{A}, \hat{H}]}~ \]

　　 8.(15 分)电子总角动量为 $\hat{j} = \hat{l} + \hat{s}$，设 $|l, j, m_j \rangle$ 为 $\hat{l}^2$, $\hat{j}^2$, $\hat{j}_z$ 的共同本征态：

1. 在此态下，$\hat{l}^2$, $\hat{j}^2$, $\hat{j}_z$ 的本征值各是多少？
2. 利用 $\hat{j}^2 = \hat{l}^2 + \hat{s}^2 + 2\hat{l} \cdot \hat{s}$，证明 $|l j m_j\rangle$ 也是 $\hat{l} \cdot \hat{s}$ 的本征态，并求本征值。

　　 9.(15 分)设缺金属原子的价电子处于中心力场 $V(r)$ 中，哈密顿量为 $\hat{H}_0 = \hat{p}^2/2\mu + V(r)$，守恒量完全集合 $\{\hat{H}_0, \hat{l}^2, \hat{l}_z \}$ 的共同本征态为 $|n,l m\rangle$，能级为 $E_{nrl}$：

1. 若沿 $z$ 方向外加强磁场 $B_z$，则价电子的哈密顿算符变为 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \omega_L \hat{l}_z$，其中 ($\omega_L = eB/2\mu c$)，试求相应的能量本征态和能量本征值。
2. 求存在强磁场 $B$ 时，原子从 $P$ 态 ($l = 1$) 跃迁到 $S$ 态 ($l = 0$) 的光谱线频率 (跃迁过程中保持 $n_r$ 不变)。

　　 10.(15 分)某体系的哈密顿算符为 $\hat{H}$，基态为 $|0\rangle$，基态能为 $E_0$。定义 $|n\rangle = \hat{A}^n |0\rangle (n = 1, 2, \dots)$，其中算符 $\hat{A}$ 满足对易关系 $[\hat{H}, \hat{A}] = \hbar \omega \hat{A}, (\omega > 0)$。试证明：

1. $|1\rangle$ 是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_1$。
2. $|2\rangle$ 是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_2$。
3. $|n\rangle$ 是该体系的能量本征态，并求相应的能量本征值 $E_n$。