东南大学 2009 年 考研 量子力学

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　　 1.(15 分)以下叙述是否正确:(1)在定态下，任意不是含的力学量的平均值均不随时间变化:(2)若厄密算符与对易，则它们必有共同本征态:(3)一维谐振子的所有能级均是非简并的:(4)厄密算符的本征值必为正数(5)时间反演对称性导致能量守恒

　　 2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子作一维运动，几率守恒定理为 $$\partial \rho /\partial t+\partial j/\partial x=0,$$ 其中，$\rho (x,t)=|\psi {|}^2$, $j(x,t)=-(i\hslash /2m)({\psi }^{\ast }\partial \psi /\partial x-\psi \partial {\psi }^{\ast }/\partial x)$。

1. 若粒子处于定态 $\psi =\varphi (x)\exp (-iEt/\hslash )$，试证 $j=c$（与 $z,t$ 无关的常数）；
2. 若自由粒子处于动量本征态 $\psi (x,t)=\exp (ipx/\hslash -iEt/\hslash )$，试证 $j=p/m$。

　　 3.(15 分)试在坐标表象中写出：

1. 位置算符 $\hat{x}$ 的本征函数；
2. 动量算符 ${\hat{p}}_z$ 的本征函数；
3. $\{\hat{x},\hat{y},{\hat{p}}_z\}$ 的共同本征函数。

　　 4.(15 分)已知 $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$，$[\hat{A},\hat{B}{]}_{+}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$，验证：

1. $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}{]}_{+}-[\hat{A},\hat{C}{]}_{+}\hat{B}$；
2. $[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}-\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$。

　　 5.(15 分)假设体系有两个彼此不对易的守恒量 $F$ 和 $G$，即 $[F,H]=0$，$[G,H]=0$，$[F,G]\ne 0$。试证明该体系至少有一条能级是简并的。

　　 6.(15 分)设粒子的波函数为 $\psi (0,\phi )=a{Y}_{11}(0,\phi )+b{Y}_{20}(0,\phi )$（$|a{|}^2+|b{|}^2=1$），试求：

1. ${\hat{L}}_z$ 的可能测量值及平均值；
2. ${\hat{L}}^2$ 的可能测量值及相应的几率。

　　 7.(15 分)质量为 $m$ 的粒子以能量 $E>0$ 从左入射，碰到势 $V(x)=\gamma \delta (x)$（$\gamma >0$）。

1. 求入射几率流密度 $j_i$，反射几率流密度 $j_r$，透射几率流密度 $j_t$ 的表达式；
2. 试证波函数 $\psi$ 满足 ${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=(2m\gamma /{\hslash }^2)\psi (0)$；
3. 求透射系数 $t$。

　　 8.(15 分)设体系由 2 个全同粒子组成，每个粒子可处于 2 个单粒子态 ${\psi }_i(r)$, ${\psi }_j(r)$ 中的任何一个，分别以下两种情况写出体系可能的波函数：

1. 全同 Bose 子；
2. 全同 Fermi 子。

　　 9.(15 分)两个电子的总角动量为 $\mathbf{S}={\mathbf{s}}_1+{\mathbf{s}}_2$，定义 $\hat{P}=(1+{\hat{\mathbf{s}}}_1\cdot {\hat{\mathbf{s}}}_2)/2$，试求：

1. ${\hat{P}}^2$；
2. $\hat{P}-{\mathbf{S}}^2/{\hslash }^2$；
3. $\hat{P}|SM⟩$，其中 $|SM⟩$ 为 ${\mathbf{S}}^2$ 和 ${\hat{S}}_z$ 的共同本征态。

　　 10.(15 分)体系未微扰哈密顿为 ${\hat{H}}_0$，微扰哈密顿 ${\hat{H}}^{\prime }(t)=\hat{A}{e}^{-|t|/\tau }(\tau >0)$，${\hat{H}}_0|n⟩=E_n|n⟩$，$⟨n|n^{\prime }⟩={\delta }_{n{n}^{\prime }}$，$\sum _n|n⟩⟨n|=1$。已知 $t=-\mathrm{\infty }$ 时体系处在 ${\hat{H}}_0$ 的非简并本征态 $|k⟩$，即 $\psi (-\mathrm{\infty })=|k⟩$。试利用一级近似下量子跃迁的几率幅公式 $$C_{nk}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}d{t}^{\prime }{H}_{nk}^{\prime }(t^{\prime })e^{i{\omega }_{nk}{t}^{\prime }},(\hslash {\omega }_{nk}=E_n-E_k,n\ne k)$$

1. 求 $t=0$ 时刻体系跃迁到本征态 $|n⟩(n\ne k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(0)$；
2. 求 $t=+\mathrm{\infty }$ 时刻体系跃迁到本征态 $|n⟩(n\ne k)$ 的几率幅 $C_{nk}^{(1)}(+\mathrm{\infty })$；
3. 求 $t=+\mathrm{\infty }$ 时刻的态 $\psi (+\mathrm{\infty })$（在此小题中取 $\tau \to \mathrm{\infty }$）。